2. Розрахунок гнучких ниток

У техніці і будівництві (канатні дороги, висячі мости, електричні мережі, ланцюгові і пасові передачі, різні троси) трапляється ще один вид розтягнутих конструкцій — гнучкі нитки. Вони працюють тільки на розтяг і не чинять опору іншим видам деформації (рис. 4). Нехай ця гнучка нитка навантажена власною вагою і закріплена у двох точках на різних рівнях. Рис. 4

Горизон­тальну проекцію між опо­рами називають прогином.

Вважаємо, що вага рівномі­рно розподілена по довжині його проекції на горизон­тальну вісь. Нехай інтенсив­ність q рівномірно розподі­лена по прогину. Це наван­таження (сила — довжина) може бути не тільки власною вагою, а й вагою льоду, тиску вітру та ін. Початок координат візьмемо у най­нижчій точці провисання. Виріжемо частину проводу x двома пере­різами (рис. 5). Сили і в перерізах спрямовані по дотичній до кривої, оскільки нитка працює лише на розтяг. Складемо рівняння рівноваги вирізаного елемента – сума моментів усіх сил відносно точки прикладання сил T має вигляд

,

звідки

Це крива провисання точ­ки, отже, вона є параболою.

Якщо обидві точки за­кріплення знаходяться на одному рівні, то . Величину називають стрілою провисання. При цьому , , , тоді за формулою . Рис.5

Звідси горизонтальна сила натягу нитки

Із другого рівняння рівноваги

знаходимо силу розтягу в будь-якій точці: Рис. 5

.

Отже, якщо відомі і , то із формули знайдемо провисан­ня , а за відомих , – силу натягу . Зв'язок цих величин з дов­жиною нитки по кривій провисання установлюють за допомогою відомих формул аналітичної геометрії

.

Елемент довжини кривої . Із формул виходить, що .

Згідно з формулою, за малого провисання нитки кут ма­лий, тому можна вважати що зусилля в нитці є сталим і дорівнює . За цією величиною і розраховують міцність:

Врахувавши значення , знайдемо

звідки визначимо стрілу провисання.

Якщо брати до уваги тільки власну вагу нитки, , де – вага одиниці об'єму матеріалу, то .

Якщо точки закріплення нитки знаходяться на різних рівнях, то, підставивши в рівняння ? , знайдемо :

; .

Із другого рівняння

.

Розділивши перше рівняння на друге, одержимо

.

Оскільки , то , або

.

Підставивши цей вираз у рівняння), отримаємо

Наявність двох знаків означає, що можливі дві основні форми провисання нитки. Знак «мінус» беремо тоді, коли найнижча точка кривої провисання лежить у межах просвіту, а знак «плюс» — якщо найнижча точка поза прогоном.

Істотно впливають на міцність нитки і форму її провисання зміна температури та інтенсивність навантаження.

Іноді від міцності гнучких ниток (лінії електропередач, висячі мо­сти) повністю залежить міцність усієї конструкції. До 1973 p. найдов­шим висячим мостом вважали міст, побудований в 1964 p. у Нью- Йорку. Довжина його центральної частини 1298 м. У 1973 p. у Вели­кій Британії було споруджено міст через p. Хамбер з центральним прогоном завдовжки 1410 м і масою 27 тис. т. Цей підвісний міст тримається на двох тросах, які сплетені з 14 948 окремих дротинок.