Полярний момент інерції площі перерізу

Полярним моментом інерції площі перерізу фігури відносно даної точки (що називається полюсом) називається інтеграл, який вираховується по всій площі поперечного перерізу від добутку площі елементарної площадки на квадрат відстані до полюсу.

Іншими словами: полярний момент інерції площі перерізу відносно точки перетину двох перпендикулярних осей (полюса) дорівнює сумі осьових або екваторіальних моментів інерції.

Приклад

Визначити величину для круга:

.

Відцентровий момент інерції.

Відцентровим моментом інерції площі перерізу відносно двох взаємно перпендикулярних осей називається інтеграл, що розраховується по всій площі поперечного перерізу від добутку площі елементарної площадки на відстані від центру вага цієї площадки до відповідних осей.

(см⁴)

Основні особливості відцентрового моменту інерції.

1. Основною особливістю є те, що він може бути додатнім, від'ємним і дорівнювати нулю.

2. Осі, відносно яких відцентровий момент інерції дорівнює нулю, носять назву головних осей інерції.

3. Осі, що проходять через центр ваги перерізу і відносно яких одночасно відцентровий момент інерції і статичний момент площі перерізу дорівнюють нулеві, називаються головними центральними осями інерції.

4. Головними центральними моментами інерції площі перерізу називаються моменти інерції вирахувані відносно головних центральних осей.

5 . Теореми:

5.1. Якщо переріз, що розглядається, має три і більше осей симетрії, то люба центральна вісь цього перерізу є головною.

5.2. Відцентровий момент інерції площі перерізу, що розраховується відносно двох взаємно перпендикулярних осей, із яких одна є віссю симетрії, буде дорівнювати нулю

Приклад:

Дано: , ,

Знайти:

Рішення:

.

.

3. Формули переходу до паралельних осей

За допомогою формул паралельного переходу є можливість здійснювати перехід від вертикальних центральних осей до паралельним їм довільних, або ж навпаки - від довільних до центральних осей.

Перший перехід здійснюється із знаком "+". Другий перехід здійснюється із знаком "–".

Розглянемо це на конкретному прикладі.

Дано:

п лоща перерізу - ; осі і – центральні осі, центральні: відцентрований моменти інерції перерізу - ; ; ;

осі і – паралельні осям і відстані між ними і відповідно.

Визначити: ; ; .

Розв’язок:

Координати любої точки тіла в нових координатах можливо записати так: ; . Підставимо ці вирази в формули для моментів інерції площі перерізу.

– так як в умові сказано, що осі і – центральні.

Аналогічно ми будемо мати такі ж залежності і для I_y1 і I_z1y1.

(1)

Формули (1) – це формули переходу до паралельних осей (довільних).

П риклад 1.

Дано: ; ;

Визначити: –?; –?

Розв’язок:

При визначенні відцентрового ( ) моменту інерції знаки ( ) і ( ) фіксуються в тій системі координат, до якої переходимо.

П риклад 2.

Дано: ; ; ;

Визначити: ; ; ;

Розв’язок:

;

;

;

, , – осьові і відцентровий моменти при переході від довільних осей до центральних.

Приклад 3.

Визначити: І_zc – осьовий момент інерції складного поперечного перерізу,

–координата центра ваги по осі .

Рішення.

 ;

; , де .

Приклад 4.

Якщо трикутник у нас рівнобічний і необхідно визначити осьовий момент інерції відносно центральних осей при співвідношенні основи і висоти.

Я кщо: ;

 

Якщо: ;  .

4 . Формули переходу до повернутих осей.

Розглянемо конкретний приклад.

Дано: і – центр. осі

; ; – відомі

– кут повороту осі

Визначити: ; ; .

Рішення:

Оскільки – як кути з взаємно перпендикулярними сторонами в прямокутних трикутниках, то

Підставимо значення і в формули для екваторіальних і відцентрового моментів інерції, будемо мати:



(1)



(2)



(3)

При додаванні осьових моментів інерції в повернутих на кут осях координат будемо мати:

(4)

5. Визначення напрямку головних осей.

Головні центральні моменти інерції і формули для їх визначення.

В інженерній практиці розрахунків важливе значення займають головні центральні осі, відцентровий момент інерції відносно яких дорівнює нулеві. Позначають такі осі буквами ( ) і ( ). Таким чином:

, а відповідно, S_y=S_z=0

В ізьмемо довільне тіло з прямокутною системою координат, що проходить через центр ваги тіла, повернемо його на деякий довільний кут при якому відцентровий момент інерції буде рівний нулеві.

Позначимо осі цієї системи координат через ( ) і ( ).

Необхідно відмітити, що серед нескінченої множини центральних осей існує хоча б одна пара головних центральних осей.

(1)



Розділимо цей вираз на 

(2)

Із формули (2) визначаємо положення головних центральних осей інерції.

Слід нагадати, що додатні кути повороту осей відкладаються проти годинникової стрілки.

Використовуючи формули (1) запишемо вираз для суми і різниці головних центральних моментів інерції:

 (3)

(4)

Використовуючи відношення (2) рівняння (4) запишемо в такому вигляді:

Оскільки: , то ми можемо записати: і підставимо цей вираз в формулу (2)–будемо мати:

Додаючи і віднімаючи вирази (3) і (4) будемо мати :



I (5)

I_{v ,u}

Причому верхні знаки необхідно брати при , а нижні – при _.

Таким чином формули (2) і (5) дозволяють визначити напрямок головних осей і величину головних центральних моментів інерції площі перерізу.

Головним центральним моментом інерції притаманна властивість екстремальності, тобто відносно головних осей інерції вони будуть мати максимальне значення.

Площина, що проведена через вісь стержня і його головні осі інерції носить назву головної площини перерізу.