Лекція № 2 Геометричні характеристики плоских перерізів Перетворення моментів інерції, моменти опору

План лекції:

1. Статичний момент площі поперечного перерізу. Центр ваги. Приклади визначення.

2. Моменти інерції площі поперечного перерізу. Основні особливості. Приклади визначення.

3. Формули переходу до паралельних осей інерції. Приклади визначення.

4. Формули переходу до повернутих осей інерції.

5. Головні і центральні осі інерції і моменти інерції.

6. Поняття про радіуси еліпса інерції. Моменти опору поперечного перерізу.

Література: [1] – c. 15÷22

1. Статичні моменти площі перерізу. Центр ваги площі перерізу

Розглянемо довільний поперечний переріз стержня, що зв'язаний з координатними осями .

Виділимо елемент площі з координатами ( ), по аналогії з моментом сили відносно якої-небудь осі, і запишемо вираз для моменту площі перерізу, який і буде називатися статичним моментом площі перерізу.

(1) (1) – статичні моменти елементарної площі перерізу відносно осей і . Тоді статичні моменти всієї площі перерізу будуть виглядати таким чином: ; . (см3) (2)

Для конструкційних елементів, площі перерізів і координати центрів ваги , яких відомі, статичні моменти площ розраховуються за формулами:

; . (3)

Приклад № 1.

1. Трикутник. Статичний момент площі перерізу трикутника є добутком його площі на відповідну координату центра ваги.

; .

2. Четверть круга

; ; .

Якщо необхідно знайти статичний момент площі круга відносно осі в полярних координатах, то для цього необхідно виділити елементарний сектор з кутом . Довільними радіусами і проведемо дві дуги окружності.

Дано: , , , , Визначити: Рішення: ; . Тоді:

.

Аналогічно, відносно осі дорівнює: .

3. Для складної фігури :

; ;

Статичним моментом площі перерізу відносно осі, що розглядається, називається величина, яка чисельно дорівнює інтегралу, вирахуваному по всій площі поперечного перерізу від добутку площі елементарної площадки на відстань відрізка (довжину) до осі, що розглядається.

Загальним методом визначення статичних моментів є метод інтегрування. Для простих перерізів, де відомо, як визначити їх площу і положення центру ваги, статичний момент визначається як добуток площі перерізу, що розглядається на відстані від центру її ваги до відповідної осі.

Статичний момент площі перерізу може бути: додатнім, від'ємним і дорівнювати нулеві.

Осі, відносно яких статичні моменти площі перерізу дорівнюють нулю, називаються центральними.

2. Моменти інерції плоских фігур

Осьовим моментом інерції площі перерізу відносно осі, що розглядається, називається інтеграл, який розраховується по всій площі поперечного перерізу від добутку площі елементарної площадки на квадрат відстані, до осі, що розглядається.

; (см⁴)

Осьові або екваторіальні моменти інерції і завжди більші нуля.

Приклад:

; . Аналогічно:

В изначити осьовий момент інерції трикутника відносно осі

Для визначення моменту інерції відносно осі Оz вибираємо елементарну полоску довжиною і висотою . Тоді площа цієї елементарної смужки буде дорівнювати: .

Із подібності двох трикутників можемо записати:

.

Проводячи вісь Оz через основу трикутника ми не накладали на його форму ніяких умов. Таким чином, момент інерції любого трикутника відносно осі, що приходить через його основу буде дорівнювати .