Тема 3. Інтегрування диференціального рівнянь руху матеріальної точки, на яку діє сила, що залежить від часу

У цьому випадку диференціальне рівняння руху приймає вигляд

. (1)

Розглянемо, наприклад, - компоненту. Для неї з рівняння (1) отримуємо

. (2)

Помножимо обидві частини цього рівняння на та проінтегруємо:

,

де

.

З врахуванням початкових умов отримуємо , тому

,

звідки легко отримати

,

що після інтегрування дає

.

Початкові умови дозволяють визначити сталу інтегрування , і ми дістаємо остаточний закон руху точки

. (3)

Аналогічні формули отримуємо для двох інших компонент.

Задача дт.4. Інтегрування диференціального рівнянь руху матеріальної точки, на яку діє сила, що залежить від часу

Знайти закон руху тіла масою (кг), за заданою силою (Н) та відповідними початковими умовами, які приведені у таблиці 4.

Таблиця 4

Вихідні дані для виконання задачі ДТ.4

№	, (кг)	, (H)	, (м)	, (м/с)		№	, (кг)	, (H)	, (м)	, (м/с)
1	1	(6t + sin4t)	2	3		16	1	(4t3+6cos24t)	2	-3
2	2	(2t2+cos3t)	4	7		17	2	(4t4+ 3sin3t)	2	9
3	3	(t3+8sin22t)	9	2		18	3	(4t5+6 cos3t)	4	-3
4	4	(t4+6cos23t)	-	4		19	4	(5t+12sin23t)	3	4
5	3	(t5 + 4sin3t)	2	-9		20	3	(5t2+16cos24t)	-2	7
6	2	(2t+2cos4t)	7	3		21	2	(5t3+sin5t)	6	-3
7	1	(2t2 +14sin2t)	6	5		22	1	(5t4+3 cos2t)	8	2
8	1	(2t3+4cos3t)	4	-2		23	2	(5t5+12sin23t)	7	3
9	2	(2t4+sin23t)	-	3		24	3	(6t+6cos22t)	1	4
10	3	(2t5+4cos2t)	3	8		25	4	(6t2 +12sin3t)	2	-3
11	4	(3t +12sin3t)	4	9		26	3	(6t3+2cos4t)	2	-6
12	3	(3t2+8cos2t)	2	-7		27	2	(6t4+2sin24t)	-2	4
13	2	(3t3+24sin2t)	-3	4		28	1	(6t5+12cos23t)	3	1
14	1	(3t4+8cos23t)	2	3		29	2	(7t+6sin2t)	8	4
15	1	(3t5 +25sin5t)	-1	4		30	3	(7t2+9cos3t)	2	6

Приклад 1. Знайти закон руху матеріальної точки масою = 2 кг, якщо на неї діє вертикальна сила, яка змінюється пропорційно часу: Н, для початкових умов м та м/с.

Розв’язок. В даному випадку ми маємо одномірну задачу, бо сила та початкова швидкість спрямовані вздовж одної прямої - осі . Тому рівняння (2) набуває вигляду

,

з початковими умовами: = - 2 м; = 2 м/с.

Помножимо обидві частини рівняння на та проінтегруємо

.

З початкових умов маємо = 2 м/с, тому, останній вираз запишемо в вигляді

(м/с).

Помножимо на останнє рівняння та проінтегруємо

.

З початкових умов маємо = - 2 м, тому остаточне рівняння руху матеріальної точки має вигляд

(м).

Відповідь: м.

Приклад 2. Знайти закон руху тіла масою = 3 кг, на яке діє сила Н. На момент часу = 0 с, м та м/с.

Розв’язок. Оскільки ми маємо справу з одномірним рухом вздовж осі , запишемо вираз для прискорення тіла

.

Помножимо останнє рівняння на та зінтегруємо

.

Підставимо початкові умови та отримаємо

(м/с),

звідки знайдемо .

Таким чином, вираз для швидкості приймає вигляд

.

Останній вираз помножимо на та проінтегруємо

.

Підставимо в останній вираз початкові умови та отримаємо

.

Таким чином, = 4 (м), тому остаточне рівняння руху тіла має вигляд

(м).

Відповідь: м.