Тема 2. Інтегрування диференціального рівнянь руху матеріальної точки, яка знаходиться під дією сталих сил

Розв’яжемо обернену задачу динаміки матеріальної точки в найпростішому випадку, коли сила є величиною сталою, (не залежить від , та ). (Ця задача дійсно має зміст, бо, наприклад, відповідає задачі про рух тіла, кинутого під кутом до горизонту, якщо нехтувати опором повітря, а параметри траєкторії значно менші за радіус Землі – в таких умовах можна розглядати тіло як матеріальну точку, а поле тяжіння Землі - однорідним.)

Якщо ми у змозі обрати одну з декартових осей паралельно лінії дії сили, тоді проекції сили на дві інші осі залишаться рівними нулю. Скористаємось цією обставиною для розв’язку задачі про рух тіла кинутого під кутом до горизонту в однорідному полі тяжіння Землі, нехтуючи опором повітря. В цьому випадку на тіло діє лише одна сила тяжіння , тому диференціальне рівняння руху має вигляд

. (1)

Спрямуємо вісь вертикально вгору, а вісі та - лежать у горизонтальній площині.

У цьому випадку рівняння (1) може бути записано в вигляді

, (2)

де - прискорення вільного падіння.

Рівняння (2) необхідно доповнити початковими умовами - при = 0:

, (3)

. (4)

Шість величин , , та , , дозволять нам визначити сталі інтегрування диференціального рівняння (2).

Розглянемо - компоненту рівняння (2) і перепишемо його у вигляді

. (5)

Розділення змінних цього рівняння і відповідне інтегрування дозволяє отримати

.

З врахуванням початкових умов визначаємо , отже

. (6)

Оскільки , то з рівняння (6) отримуємо

.

Інтегруючи останній вираз, отримуємо

,

а сталу визначаємо з початкових умов . Отже отримуємо закон руху тіла вздовж осі

. (7)

Що стосується руху тіла вздовж осей та , то з урахуванням того, що:

, та ,

перше інтегрування цих рівнянь приведе до визначення сталих швидкостей:

, (8)

, (9)

а повторне інтегрування дає закони рівномірного руху вздовж цих осей:

, (10)

. (11)

Рівняння (10) та (11) дозволяють визначити траєкторію руху в горизонтальній площині . Якщо виключити час з системи цих рівнянь, то ми отримаємо рівняння прямої лінії у вигляді

(12)

Вздовж цієї прямої, яка лежить в горизонтальній площині, відбувається зміна горизонтальної координати, при цьому швидкість зміни координати буде сталою - доведіть це самостійно.

Таким чином, ми довели, що траєкторія руху тіла в однорідному полі тяжіння є плоскою. Тому, при розв’язку таких задач одну з осей системи відліку (наприклад, вісь ), напрямляють вздовж лінії дії сили, а іншу (наприклад, вісь ) – вздовж проекції початкової швидкості на площину, що перпендикулярна до сталої сили (дивись наступний приклад). Тоді у всіх отриманих формулах можемо покласти та і отримати наступні закон руху тіла у параметричній формі:

, (13)

. (14)

Задача дт.2. Інтегрування диференціального рівняння руху матеріальної точки, на яку діє сила тяжіння

Знайти закон руху тіла масою m (кг), що почало рухатись в полі тяжіння Землі зі швидкістю (м/с) з точки (м). Визначити координати та швидкість тіла, тангенціальну та нормальну сили і радіус кривизни траєкторії у заданий момент часу (с). Опором повітря знехтувати, прискорення вільного падіння вважати 9,8 м/с². Всі вектори зобразити на малюнку у зручному масштабі. Дані приведені у таблиці 2.

Таблиця 2

Вихідні дані для виконання задачі ДТ.2

№	m						№	m						№	m
1	0,5	20	10	45	35	*	11	3,0	40	45	30	15	3	21	0,5	35	10	40	25	**
2	2,0	10	35	35	25	2	12	4,0	35	30	40	30	5	22	5,0	25	50	10	30	3
3	3,0	20	15	40	10	2	13	2,0	10	15	20	10	*	23	4,0	15	10	40	40	*
4	4,0	15	45	10	35	6	14	4,0	45	30	50	40	2	24	3,0	35	35	25	35	5
5	4,0	55	15	15	35	**	15	0,5	25	5	45	45	**	25	2,0	55	5	20	10	**
6	0,5	45	55	5	20	7	16	4,0	10	35	5	25	4	26	4,0	45	20	5	10	3
7	3,0	45	35	5	25	5	17	0,5	55	5	20	40	*	27	5,0	5	50	30	15	4
8	4,0	25	30	5	30	4	18	3,0	40	35	15	30	5	28	3,0	40	35	15	30	5
9	2,0	55	15	50	55	2	19	0,5	30	35	40	15	2	29	0,5	30	35	40	15	2
10	4,0	10	30	20	45	2	20	5,0	30	5	20	45	*	30	5,0	30	5	20	45	*

* в найвищій точці траєкторії;

** в момент падіння на Землю.

Приклад. Знайти для початкових умов , координати та швидкість тіла, нормальне та тангенціальне прискорення і радіус кривизни траєкторії в момент часу = 1 с. Прискорення вільного падіння вважати рівним 9,8 м/с².

Розв’язок. Дані початкові умови визначають конкретний вигляд рівнянь руху тіла в полі тяжіння Землі Скористаємося отриманими формулами (13) та (14), які згідно умовам задачі приймають вид:

,

.

Підставляючи час = 1 с, отримаємо координати тіла:

= 35 (м), = 60,1 (м).

Згідно формули (8) горизонтальна компонента швидкості не змінюється

20 (м/с),

а вертикальна компонента швидкості змінюється за законом (6)

(м/с),

що для = 1 с дає = 20,2 (м/с).

Модуль швидкості та її напрям знайдемо, скориставшись формулами (6) та (8):

= 28,4 (м/с),

tg = 1,

отже,

45°.

Знаючи кут, який утворює швидкість з горизонтом, модуль тангенціального прискорення знайдемо, як проекцію прискорення вільного падіння на вектор швидкості

= 6,9 (м/с²).

(Зауважимо, що тангенціальне прискорення може бути знайдено за формулою, яка відома з кінематики

,

що дає той самий результат.)

Тоді для нормального прискорення маємо

= 6,9 (м/с²).

Оскільки , то для радіуса кривизни траєкторії отримуємо

= 117 (м).

Відповідь: = 35 м, = 60,1 м, = 28,4 м/с,

= = 6,9 м/с², = 117 м.