Динаміка

Динаміка є частиною теоретичної механіки, в якій вивчається рух тіл як результат їх взаємодії. Основи динаміки були закладені Ньютоном, який узагальнив накопичені до нього досліди по руху тіл і сформулював три закони, які відомі Вам з курсу фізики.

Подібно до кінематики, динаміку розділяють на дві частини – динаміку матеріальної точки (тут вивчають рух тіла, розмірами якого можна нехтувати в конкретній задачі), та динаміку механічної системи – сукупність матеріальних точок, положення та рух кожної з яких залежить від положення та руху усіх останніх.

Розділ 1. Динаміка точки Тема 1. Пряма задача динаміки

Для вільної матеріальної точки існують дві задачі:

Перша (або пряма) задача динаміки - по відомому закону руху матеріальної точки треба визначити силу , яка діє на точку масою .

Ця задача розв’язується однозначно шляхом подвійного диференціювання. Дійсно, коли відомий закон руху точки , її швидкість визначиться як перша похідна рівняння по часу - , а прискорення – як друга - . Тоді для визначення сили отримаємо

. (1)

Друга (або обернена) задача динаміки - по відомій силі , що діє на матеріальну точку відомої маси, знайти закон її руху, тобто потрібно визначити .

Розв’язок оберненої задачі динаміки приводить до необхідності розв’язання диференціального рівняння другого порядку виду

, (2)

бо в загальному випадку сила залежить від часу , положення точки та її швидкості .

Цей розв’язок можна отримати двома послідовними інтегруваннями. При кожному інтегруванні виникає невизначена стала (сталий вектор), а тому загальний розв’язок рівняння (2) буде мати вигляд

. (3)

Щоб довести розв’язок задачі до кінця, треба визначити значення сталих векторів та . Тому рівняння (2) необхідно доповнити двома умовами, які фіксують стан точки в певний момент часу. Як правило, вказують значення радіус-вектора та швидкості точки в початковий момент часу = 0:

, (4)

, (5)

які називають початковими умовами.

Отже, однозначний розв’язок другої задачі динаміки може бути знайдений, якщо відоме прискорення тіла (2) та задані початкові умови (4 - 5).

Контрольні запитання

1. Сформулюйте перший закон Ньютона. Наведіть приклади, коли він проявляється.

2. Які системи відліку називаються інерціальними? В яких системах відліку виконуються закони Ньютона?

3. Якою фізичною величиною характеризується зміна стану спокою або рівномірного та прямолінійного руху тіла?

4. Яка фізична величина є мірою інертності тіла?

5. Сформулюйте другий закон Ньютона.

6. В чому полягає сутність принципу незалежності дії сил (принцип суперпозиції)?

7. Сформулюйте третій закон Ньютона.

8. Що таке рівняння руху точки? Запишіть диференціальне рівняння руху матеріальної точки.

9. Сформулюйте першу задачу динаміки. Як вона розв’язується?

10. Сформулюйте другу задачу динаміки. Як вона розв’язується? Що додатково потрібно для знаходження розв’язку другої задачі динаміки?

Задача дт.1. Визначення сили за відомим законом руху точки

Знайти силу, що діє на матеріальну точку масою (кг), яка рухається за законом ,(відстань - в метрах, час - секундах).

Таблиця 1

Вихідні дані для виконання задачі ДТ.1

№	m	rx(t)	ry(t)	rz(t)		№	m	rx(t)	ry(t)	rz(t)
1	0,5	4sin(3t)	3ln(5+2t )	exp(- 2t 3)		16	2,0	2ln(3+4t 3)	exp(-3t 2)	4cos2(5t)
2	2,0	ln(4+3t 2)	e – 3 t	4cos2(3t)		17	5,0	4exp( 3t 2)	3cos3(2t)	6 /(3t 2 + 5)
3	3,0	2e – 3 t	cos3(2t)	4/(3t 2 + 5)		18	4,0	7cos(2t)	4/(3t2 + 7)	3e – 4 t
4	4,0	4cos2(3t)	5/(3t 3 + 4)	exp(- 4t 3)		19	0,5	4/(3t 4 + 2)	4e – 2 t	4sin3(2t)
5	4,0	7/(4t 2+ 3)	4exp(- 3t 2)	2sin3(4t)		20	2,0	3e 4 t	5sin2(3t)	(4 + 3t 4)3
6	0,5	exp(-4t 3)	5sin2(3t)	ln(4+2t 3)		21	4,0	4sin3(2t)	(7 + 3t 2)4	3ln(4+7t 2)
7	3,0	3sin4(2t)	3ln(7+4t 2)	exp(-3t 2)		22	5,0	(4 + 2t 3)4	ln(3+5t 2)	3exp(-2t 4)
8	4,0	ln(2+4t 3)	2exp(- 4t 3)	3cos2(4t)		23	3,0	2ln(4+3t 3)	exp(-3t 2)	4cos3(2t)
9	2,0	4e 3 t	4cos3(2t)	4/(3t 3+ 2)		24	0,5	5exp(-2t 3)	3cos2(3t)	5 / (t 4 + 4)
10	4,0	5cos(3t)	3/(3t 2 + 4)	e 2 t		25	5,0	2cos4(3t)	4/(2t 3+ 3)	4e – 3 t
11	0,5	2/(4t 3+ 3)	5e – 3 t	4sin3(2t)		26	3,0	3/(3t 2 + 8)	3e – 4 t	3sin2(5t)
12	3,0	3e 4 t	3sin2(3t)	ln(2+4t 3)		27	2,0	2e 3 t	2sin3(4t)	(2 + 3t 2)3
13	4,0	5sin(2t)	2ln(4+3t )	exp(4t 3)		28	4,0	4sin2(2t)	(4 + 5t 3)4	4ln(1+6t 2)
14	2,0	ln(5+3t 2)	3exp(- 2t 3)	сos3(4t)		29	0,5	(7 + 4t 2)2	ln(7+4t 3)	3exp(-2t 3)
15	4,0	exp(- t 2)	4cos3(2t)	4/(5t 2+ 3)		30	5,0	2ln(1+3t 4)	exp(-3t 2)	4cos3(2t)

Приклад. Матеріальна точка масою = 2 кг рухається за законом (відстань в метрах, час – в секундах). Знайти силу, яка діє на цю точку.

Розв’язок. Послідовно знайдемо першу та другу похідні закону руху за часом:

(м/с),

(м/с²).

Помножаючи останній вираз на масу матеріальної точки, остаточно отримаємо

(Н).

Відповідь: Н.