Тема 3. Теорема про зміну та збереження моменту імпульсу механічної системи

Моментом імпульсу (чи кінетичним моментом) матеріальної точки відносно центру (точки) , зветься фізична величина, яка визначається як векторний добуток радіус-вектора (положення точки відносно точки ), на імпульс цієї матеріальної точки

. (1)

Похідна за часом від вектора моменту імпульсу механічної системи відносно даного центра дорівнює головному моменту всіх зовнішніх сил відносно того ж центра (теорема Резаля)

. (2)

Формула (2) є математичним записом теореми про зміну моменту імпульсу механічної системи в диференціальній формі.

Векторне рівняння в проекціях на нерухомі вісі декартових координат, початок яких співпадає з центром обертання еквівалентне трьом скалярним рівнянням:

, , . (3)

З доведеної теореми випливають наступні наслідки:

а) внутрішні сили безпосередньо не впливають на зміну моменту імпульсу механічної системи ( вони можуть здійснювати о посередній вплив через зовнішні сили);

б) якщо головний момент всіх зовнішніх сил відносно деякого нерухомого центру дорівнює нулю, то момент імпульсу механічної системи відносно того ж центра не змінюється по модулю та напрямку. Дійсно, якщо , то з рівняння (3) матимемо

= , (4)

де - початкове значення вектора . Формула (4) є першим інтегралом рівняння руху системи і математичним записом закону збереження моменту імпульсу механічної системи;

в) якщо головний момент всіх зовнішніх сил відносно деякої вісі (наприклад, ) дорівнює нулю, то момент імпульсу механічної системи відносно цієї вісі не змінюється з часом. Дійсно з рівнянь (3) витікає, що коли , то:

, (5)

Отже, перші інтеграли рівняння руху матеріальної системи, які визначаються другим (формула 4) та третім (формула 5) наслідками, називаються законами збереження моменту імпульсу механічної системи.

4. Якщо момент зовнішніх сил відносно нерухомого центру не дорівнює нулю, то з рівняння (2) отримуємо

. (6)

Після інтегрування в межах від початкового моменту часу до поточного , отримуємо

, (7)

де - момент імпульсу механічної системи момент часу та - в момент часу . Таким чином, зміна моменту імпульсу механічної системи відносно нерухомого центру за проміжок часу від до дорівнює головному моменту імпульсу зовнішніх сил, які прикладені до точок системи, за той самий проміжок часу.

Контрольні запитання

1. Чому дорівнює момент імпульсу матеріальної точки відносно центру?

2. Коли момент імпульсу матеріальної точки відносно вісі дорівнює нулю?

3. Чи буде змінюватись момент імпульсу відносно нерухомого центра тіла, яке рухається поступово, прямолінійно та рівномірно?

4. Чому дорівнює момент імпульсу твердого тіла відносно вісі обертання?

5. Сформулюйте теорему про зміну моменту імпульсу механічної системи.

6. Чи можуть внутрішніх сил змінити момент імпульсу механічної системи?

7. У яких випадках момент імпульсу механічної системи або його проекція на задану вісь залишаються сталою?

8. Чи можливо сила тяжіння змінить момент імпульсу механічної системи відносно вертикальної осі?

9. Як залежить від часу момент імпульсу механічної системи відносно заданої осі, якщо проекція головного моменту внутрішніх сил на цю вісь є величиною сталою?