Розділ 2. Динаміка механічної системи

Механічною системою називається сукупність матеріальних точок, положення та рух кожної з яких залежить від положення та руху всіх останніх. Зауважимо, що довільне матеріальне тіло можна розглядати як механічну систему, що складається з неперервної сукупності матеріальних точок.

Основною задачею динаміки системи матеріальних точок є дослідження її руху під дією сил, прикладених до неї. Матеріальні точки системи взаємодіють між собою внутрішніми силами (це сили, що діють на точку з боку точки ). Крім того, на матеріальні точки системи діють зовнішні сили (це сили, які діють на точку з номером з боку тіл, що не входять в систему).

Внутрішні сили механічної системи задовольняють умовам

= = 0 ,

- векторна сума всіх внутрішніх сил системи (головний вектор внутрішніх сил системи) дорівнює нулю та

= 0,

- векторна сума всіх моментів внутрішніх сил системи (головний вектор моменту внутрішніх сил системи) відносно довільної точки дорівнює нулю.

Коли нам не потрібна повна інформація про всі властивості системи, а достатньо знати окремі параметри, які характеризують рух системи в цілому, в теоретичній механіці вводять певні скалярні та векторні величини і ці сумарні характеристики руху механічної системи визначаються за допомогою загальних теорем. До числа цих теорем відносяться:

- теорема про рух центру мас;

- теорема про зміну імпульсу (кількість руху);

- теорема про зміну моменту імпульсу (кінетичного моменту);

- теорема про зміну кінетичної енергії.

Тема 1. Рух центра мас механічної системи

Нехай механічна система складається з – матеріальних точок. Радіус-вектор центру мас механічної системи визначається наступним виразом

= . (1)

Центр мас механічної системи рухається як вільна матеріальна точка, маса якої дорівнює масі всієї системи і на яку діє сила, що дорівнює головному вектору зовнішніх сил

, (2)

– що є математичним записом теореми про рух центру мас системи.

Векторне рівняння (2) еквівалентне трьом скалярним:

, , . (3)

З доведеної теореми випливають наступні наслідки:

а) внутрішні сили не змінюють характер руху центру мас системи;

б) якщо головний вектор всіх зовнішніх сил, що діють на систему, дорівнює нулю, то центр мас системи рухається рівномірно та прямолінійно, або знаходиться в стані спокою

, (4)

де - початкова швидкість центру мас. Якщо = 0, то

, (5)

в) якщо проекція головного вектора всіх зовнішніх сил системи на деяку нерухому вісь дорівнює нулю, то проекція швидкості центру мас системи на цю вісь не змінюється.

Контрольні запитання

1. Сформулюйте теорему про рух центра мас системи.

2. Чи впливають внутрішні сили системи на рух її центру мас? На її кількість руху?

3. При яких умовах центру маси системи знаходиться в спокої? Коли він рухається рівномірно та прямолінійно?

4. Як впливає на рух центру маси системи прикладені до неї пари сил?

5. Який рух твердого тіла можна розглядати як рух матеріальної точки, що має масу даного тіла?

Задача дс.1. Дослідження руху центру мас механічної системи

Н епарні варіанти: Тіло 3 з закріпленим на ньому електродвигуном (загальна маса тіла та двигуна М кг ) може ковзати вздовж горизонтальної поверхні без тертя (рис. 1). На співосних валах електродвигуна, на відстанях та від осі обертання, жорстко закріплені тіла, масами m₁ та m₂ кг відповідно, розмірами яких можна нехтувати. В початковий момент часу система знаходиться у стані спокою, а тіла m₁ та m₂ знаходяться в початкових точках А і В відповідно таблиці 1. В момент часу t₀ = 0 вали починають обертатися за певними законами рад та рад.

1. Знайти закон зміщення тіла 3 від часу.

2. Знайти реакцію упорів, які утримують тіло 3 в закріпленому стані.

(Додатному напряму обертання відповідає обертання проти стрілки годинника.)

Парні варіанти: Призма 3 з закріпленим на ньому електродвигуном та блоком (загальна маса М кг ) може ковзати вздовж горизонтальної поверхні б ез тертя (рис. 2). Два вантажі, маса яких та ковзають по гладким поверхням призми, які утворюють кути та з горизонтом, бо з’єднані мотузками з двигуном та блоком . Електродвигун , радіус якого , зв’язаний з блоком , радіус якого , пасовою передачею перехресною (з’єднання ), або прямою (з’єднання ). В момент часу t₀ = 0 електродвигун починає обертатися за законом рад. Вагою мотузок та пасу нехтуючи і вважати їх нерозтяжними.

1. Знайти закон зміщення призми від часу.

2. Знайти реакцію упорів, які утримують призму в закріпленому стані.

(Додатному напряму обертання відповідає обертання проти стрілки годинника.)

Таблиця 1

Вихідні дані для задачі ДС.1

№	M	m1  (двигун A)				m2
		маса	R1	Початкове положення	Напрям Обертання	маса	R2	Початкове положення	Напрям обертання	k1	k2			тип
1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15
1	170	35	0,40	A1	-	75	0,30	B2	-	25	30
2	70	20	0,20		+	10	0,30			15	2	60	45	AB
3	210	70	0,70	B1	-	45	0,15	B2	+	10	30
4	60	25	0,15		-	15	0,25			5	1	45	60	AC
5	215	65	0,45	D1	-	35	0,25	E2	+	10	30
6	60	15	0,25		+	25	0,15			6	- 2	30	45	AB
7	165	60	0,70	E1	-	50	0,25	D2	-	20	35
8	75	10	0,40		-	15	0,20			4	- 1	45	30	AC
9	185	35	0,50	B1	+	75	0,15	B2	+	10	30
10	70	10	0,20		+	20	0,40			5	2	60	30	AB
11	150	50	0,45	D1	-	45	0,35	B2	+	15	15
12	60	30	0,25		-	10	0,50			6	- 2	30	60	AC
13	205	75	0,40	B1	-	40	0,30	A2	-	15	30
14	60	10	0,50		+	30	0,25			8	3	60	45	AB
15	175	80	0,55	A1	-	40	0,20	D2	+	25	10
16	65	25	0,20		-	10	0,30			9	- 3	45	60	AC
17	145	70	0,55	B1	-	65	0,20	B2	-	25	35
18	65	10	0,30		+	25	0,20			3	1	30	45	AB
19	165	75	0,50	D1	-	50	0,10	D2	+	30	10
20	80	5	0,45		-	15	0,15			4	- 1	45	30	AC
21	190	65	0,60	E1	+	35	0,20	D2	-	20	30
22	80	15	0,15		+	5	0,45			6	- 2	60	30	AB
23	205	70	0,70	A1	-	75	0,25	B2	+	25	30
24	75	10	0,15		-	15	0,05			7	2	30	60	AC
25	125	75	0,55	B1	+	70	0,10	B2	+	25	20	60	45
26	75	15	0,05		+	10	0,15			5	- 2	45	30	AB
27	145	40	0,60	A1	+	35	0,10	D2	-	35	40	45	60
28	70	12	0,10		-	18	0,20			5	2	30	45	AC
29	190	60	0,60	D1	-	80	0,10	B2	+	35	35	30	45
30	70	18	0,20		+	12	0,10			7	- 3	60	45	AB

Приклад. Тіло G з закріпленим на ньому електродвигуном (загальна маса тіла та двигуна М = 150 кг ) може ковзати вздовж горизонтальної поверхні без тертя. На співосних валах електродвигуна, на відстанях R₁ = 0,5 м та R₂ = 0,2 м від осі обертання, жорстко закріплені тіла, розмірами яких можна нехтувати, м асами m₁ = 20 кг та m₂ = 30 кг, відповідно. В початковий момент часу система знаходиться у стані спокою, а тіла m₁ та m₂ знаходяться в точках А і В, відповідно (рис. 3). В момент часу t₀ = 0 вали починають обертатися за стрілкою годинника за законами рад/с та рад/с.

1. Знайти закон зміщення тіла G від часу.

2. Знайти реакцію упорів, які утримують тіло G в закріпленому стані.

Розв’язок. Перш за все, довільно оберемо систему відліку (дивись рис. 3) спрямувавши вісь горизонтально. Згідно з теоремою про рух центру мас механічної системи у відсутності зовнішніх сил прискорення центру мас системи дорівнює нулю. Для нашого випадку вздовж горизонталі зовнішні сили відсутні і в початковий момент часу система знаходиться у спокою, отже положення центру мас системи вздовж осі не змінюється. Математично це можна записати наступним чином

, (1)

тут - координата центру мас системи, - маса елемента системи, - координата центру його маси. На момент часу = 0 отримане рівняння можна записати у вигляді

,

де , та - початкові координати елементів системи, а для будь-якого моменту часу

,

де , та - координати елементів на момент часу ≠ 0.

Зв’язок між початковими та поточними координатами легко знайти наступним шляхом. Будемо вважати, що за досить малий інтервал часу тіло G змістилося вправо на відстань відносно початкового положення. Тоді абсолютні координати тіл, що обертаються, є алгебраїчними сумами зміщення тіла G та відповідних відносних зміщень AD і CE тіл 1 і 2 вздовж осі x відповідно (рис. 3). Ці відносні зміщення можна знайти з геометричних міркувань:

,

.

Таким чином, зв’язок між відповідними координатами наступний:

.

Незмінність координати центру маси системи (1) дає

.

Якщо розкрити дужки та провести алгебраїчні перетворення, то дістаємо

.

Отриманий вираз дає зміщення тіла G в будь-який момент часу. Підставляючи числа в цей вираз, отримаємо зміщення на заданий момент часу

(м).

Для відповіді на друге запитання перепишемо закон руху центру мас механічної системи у вигляді

,

де - друга похідна зміщення центра мас за часом (прискорення), - сума зовнішніх сил, що діють на систему в горизонтальному напрямку, яка визначає реакцію упору . З урахуванням виразу для маємо

.

При наявності упорів тіло G не рухається, отже = 0 і . Оскільки , та - величини сталі, то послідовно отримаємо

,

та для реакції упору

=

= = (Н).

Відповідь: = м,

= Н.