2.4. Контрольные вопросы

1. Что такое эксперимент? Какова его роль в инженерной практике?

2. Какие общие черты имеют научные методы исследований для изучения закономерностей различных процессов и явлений в промышленности?

3. Приведите классификации видов экспериментальных исследований, исходя из цели проведения эксперимента и формы представления результатов, а также в зависимости от условий его реализации.

4. В чем заключаются принципиальные отличия активного эксперимента от пассивного?

5. Поясните преимущества и недостатки лабораторного и промышленного эксперимента.

6. В чем отличие количественного и качественного экспериментов?

7. Дайте определения следующим терминам: опыт, фактор, уровень фактора, отклик, функция отклика, план и планирование эксперимента.

3. Экспериментальные иСследования с использованием математического моделирования на основе базовых законов естествознания

3.1. Принципы математического моделирования

Математическое моделирование применяется в тех случаях, когда физическая природа процессов, происходящих в модели и в объекте различна, но оказываются одинаковыми уравнения, описывающие состояние и процессы в реальных системах и в модели.

Например, перенос вещества описывается законом Фика:

(3.1)

Перенос тепла описывается уравнением Фурье:

(3.2)

Перенос электричества описывается законом Ома:

(3.3)

Все эти три уравнения имеют одинаковую структуру, они состоят из двух сомножителей, первый из которых является коэффициентом пропорциональности данного процесса, а второй является величиной градиента концентрации (с) температуры (Т), или напряжения (U) в направлении потока. Уравнения (3.1 – 3.3) являются математической моделью этих трех процессов, описывают их основные свойства – а именно, способность к переносу различных субстанций в поле распределения соответствующей величины в пространстве. Эти три процесса имеют одинаковую математическую модель и являются изоморфными. Каждое из трех рассмотренных явлений может быть моделью для исследований процессов переноса, описываемых моделью типа (3.1 – 3.3). На этом основании можно, например, исследовать закономерности распространения вещества путем диффузии, исследуя закономерности распространения электрического тока в электропроводящей среде. Такой метод называется методом прямой аналогии. Он использовался при моделировании процессов на аналоговых вычислительных машинах. Метод прямой аналогии несет в себе черты подобия в узком смысле. При моделировании сложных объектов создание таких аналоговых моделей становится сложным, а сами модели становятся громоздкими и трудно реализуемыми, особенно для нелинейных систем.

Основополагающим в моделировании является принцип изоморфизма: если две системы изоморфны, то каждую из них можно считать моделью другой. Однако так как модели отражают не все стороны явления или процесса, а только наиболее существенные с точки зрения исследователя, то и системы являются не полностью изоморфными, а только частично, по ограниченному объему свойств и характеристик. Такое неполное соответствие называют гомоморфизмом. Гомоморфизм также предполагает однозначное соответствие между объектами, но это соответствие не взаимно. Из гомоморфных объектов один обязательно моделируемый («натура»), а второй – модель. Их нельзя поменять местами, в отличие от изоморфных объектов, рис. 3.1.

При моделировании кибернетических систем можно соблюдать два вида подобия:

1. функциональное – совпадение функций систем в одинаковых условиях;

2. динамическое – совпадение между движением модели и объекта, т.е. между последовательно изменяющимися состояниями модели и объекта.

Для различных целей моделирования объекту можно поставить в соответствие разные гомоморфные модели.

Рис.3.1. Сопоставление изоморфных систем

Пусть мы имеем две системы:

(3.4)

т.е. соответственно значения компонентов вектора входных переменных систем N и M, а t_N и t_M темп протекания процессов в системах N и M

Если реакции этих систем также одинаковы:

(3.5)

а течение времени в модели совпадает с натуральным:

(3.6)

то системы M и N изоморфны. Но условия (3.4 – 3.6) очень «жесткие». Для их выполнения требуется, чтобы множества переменных состояния X и Y, совпадали в модели и в натуре, т.е. они должны включать все возможные в реальной системе воздействия и реакции на них. Темпы развития процессов в системах N и M должны совпадать. Поэтому всякий реальный объект является строго изоморфным только самому себе. Моделирование возможно только при упрощении условий (3.4 – 3.6). Прежде всего, необходимо уменьшить число компонентов у векторов X_M и Y_M в модели по сравнению с моделируемым объектом. Это достигается тем, что в модели воспроизводятся не все свойства объекта, а только основные. Учитываются разные темпы протекания процессов в модели и в объекте. Это приводит к тому, что условия (3.4 – 3.6) могут быть записаны следующим образом:

(3.7)

о (3.8)

где: r и с – коэффициенты пересчета масштаба времени. Введение масштабных коэффициентов времени позволяет изменить в модели темпы протекания процессов и сделать их более удобными для детального исследования. Наконец, условие (3.5) иногда целесообразно изменить следующим образом для удобства измерений на модели:

(3.9)

где: K_j – множители изменения масштаба реакций системы на модели по сравнению с реакциями натуры; аналогичные изменения можно ввести в условие (3.7).

Системы N и M, отвечающие условиям (3.7)-(3.9), однозначно соответствуют друг другу, но это соответствие не взаимно. Система N (натура) всегда богаче по содержанию, чем система М (модель). Поэтому эти системы не изоморфны, но гомоморфны друг другу. Отсюда следуют следствия:

Следствие 1. Из того, что М есть модель N, не следует, что N моделирует М.

Следствие 2. Сходство модели с оригиналом всегда неполное.

Следствие 3. Реальной системе на разных этапах ее исследования можно поставить в соответствие разные гомоморфные модели.

Используя полученные следствия и полученные выше соотношения, можно проводить разработку модели объекта и использовать ее для исследования поведения объекта на модели. В этом случае полученные результаты будут описывать поведение объекта с точностью, обеспечиваемой правильностью сделанных допущений.