3.4.Анализ колебаний маятника на основе равенства сил, моментов и сохранения энергии

Получим аналитическую зависимость для колебаний маятника. Поскольку скорость движения маятника v=ldα/dt, то уравнение колебания на основе баланса сил можно записать в виде:

mv²l=ml(dα/dt)² =N-mgcosα,

ml(dα/dt)² =N-mgcosα.

Или с другой стороны

md(ldα/dt)/dt =mgsinα

В этом случае имеем задачу Коши

d²α/dt² =(g/l)sinα

или

α'' =-(g/l)sinα,

начальные условия:

α(0)=0, α'(0)=0 , t>0.

Вывод формулы на основе равенства моментов инерции. При отклонении маятника на некоторый угол момент создаваемый силой тяжести будет равен mglsinα, а момент инерции груза массы m, расположенного на расстоянии l от оси, равен ml². Следовательно, основное уравнение динамики, представляющее собой обобщение второго закона Ньютона на вращательное движение имеет вид:

ml² α'' =-mglsinα

или

α'' =-(g/l)sinα

α(0)=0, α'(0)=0, t>0.

При малых отклонениях маятника уравнение упрощается

α'' -(g/l)α=0.

Решение можно получить в форме:

α =α₀ch((g/l)^1/2 t),

это решение имеет асимптотику

α ≈(α₀/2)exp((g/l)^1/2 t).

Откуда следует, что период зависит от начального угла отклонения маятника от равновесия.

Анализ периода колебаний маятника можно провести, также, базируясь на законе сохранения энергии. Из уравнения сохранения энергии имеем

E=ml² α'²/2 – mglcosα= - mglcosα₀.

Интегрируя это уравнение, получим для периода колебаний учетверенное время движения маятника от начального угла до нуля

T=4 =2 .

Осуществляя замену sinξ = sin(α/2) /sin(α₀/2)

T= 4√(l/g)K(sin(α₀/2)),

где

K(k) =

При малых углах отклонения маятника sin(α₀/2) ≈ α₀/2<<1, выражение для K(k) можно разложить в ряд. Зависимость для периода колебания маятника приобретает форму

T=2π√l/g¯(1+(1/16) α₀² +….).

Отсюда видно, что точное значение в первом приближении равно приближенному, полученному с помощью анализа размерностей. Кроме того, период зависит от начального отклонения маятника, что существенно.

2.4. Гармонический осциллятор и его характеристики

Рассмотрим задачу о движении гармонического осциллятора под действием периодической силы в среде, вязкие свойства которой вызывают силу сопротивления движению. Таким образом, закон движения(2.1) соответствует в модели действию на материальную точку силы

F(x, x',t) = -kx - 2ε mx' +mAcos(ω₀t).

Первое слагаемое в этом выражении представляет собой восстанавливающую силу, которая всегда (k>0) направлена к положению равновесия и характеризует упругие свойства пружины. Второе слагаемое-сила, препятствующая движению, направленная против скорости (ε >0), а третье - внешняя приложенная к точке периодическая сила.

Кинетическая энергия T(x) и потенциальная энергия V(x)=-U(x) осциллятора соответственно равны

T(x')=m x'²/2; V(x)=kx²/2.

Поэтому следствием закона движения является соотношение

(m x'') x' = (-kx -2mε x' + mAcos(ω₀t)) x',

после преобразования которого получается уравнение баланса энергии

d(m x'²/2 +kx²/2) = -2mε x'dx + mAcos(ω₀t)) dx.

Согласно этому уравнению изменение полной энергии осциллятора происходит за счет работы силы сопротивления и внешней силы на перемещении dx.

В качестве замечания отметим, что переход к вариационной постановке задачи (2.4) был выполнен выше при условии потенциальности сил F. В рассматриваемом случае сила не обладает этим свойством из-за наличия компоненты, пропорциональной x'. Уравнение Эйлера(2.5) в развернутом виде

(∂²L/∂x²) x''+ (∂²L/∂x∂x'')x' -∂L/∂x =0

и уравнение свободных колебаний осциллятора

m x'' = -2mε x' -kx

будут одинаковыми, если соответствующим образом подобрать лагранжиан системы L.

Рассмотрим частные случаи:

1.ε =0, A=0. В этом случае уравнение движения

m x'' = -kx

после умножения на x' приводится к виду

d(m x'²/2 +kx²/2)/dt = 0

и допускает интеграл в виде закона сохранения полной энергии

E=m x'²/2 +kx²/2=E₀. (2.8)

Очевидно, что L=E является функцией Лагранжа и уравнение движения имеет вид уравнения Эйлера для функционала действия(2.4).

На фазовой плоскости (x', x) фазовые траектории являются эллипсами с уравнениями(1.8), что означает периодичность решений уравнения осциллятора.

x(t)=c₁sin(ω₀t) + c₂cos(ω₀t), ω² =k/m.

2. ε >0, A=0. Общим решением уравнения движения

m x'' = -2mε x' -kx

является функция

x(t)=exp(-εt)(c₁sin(ω₁t) + c₂cos(ω₁t)), ω₁=(ω² – ε²)^1/2.

Поэтому колебания осциллятора затухают (x(t)→0 , t→∞) и фазовые траектории являются спиралями, сходящимися к состоянию равновесия(0,0). При этом движение осциллятора на каждой из частот ω может иметь как колебательный (при ε< ω), так и монотонный (при ε>ω) характер.

3.A ≠ 0, ε>0. В этом случае общим решением неоднородного уравнения

m x'' = -kx -2mε x' + mAcos(ω₀t)) x'

является функция

x(t)= B(ω₀)cos(ω₀t-f(ω₀)) + exp(-εt)(c₁sin(ω₁t) + c₂cos(ω₁t)).

Рассмотрим характер движения осциллятора при t→∞. В этом случае второе слагаемое стремится к нулю. Поэтому

t→∞, x(t)→ B(ω₀)cos(ω₀t-f(ω₀)).

Зависимость амплитуды B(ω₀) от частоты ω₀ имеет вид кривой с максимумом, а сдвига фазы f(ω₀) от частоты ω₀ имеет форму арккосинуса.

4. ε=0, A ≠ 0, ω= ω₀ . Уравнение движения

x'' +ω₀² x = Acos(ω₀t)

в этом случае имеет частное решение вида

x(t)=(A/2ω₀)tsin(ω₀t),

соответствующее колебаниям, амплитуда которых со временем растет линейно. Это явление называется резонансом.