3 Вопрос

Определитель первого порядка равен тому единственному элементу, из которого состоит соответствующая матрица.

Определитель второго порядка вычислим, например, по элементам первой строки

Запишем разложение данного определителя по элементам второй строки

Полученный результат совпадает с результатом вычисления определителя по первой строке. Этот же результат получится и при разложении по любому из столбцов. Рекомендуем это проверить самостоятельно.

Из сказанного можно заключить, что определитель второго порядка равен произведению элементов, стоящих на главной диагонали, минус произведение элементов, стоящих на побочной диагонали.

Пример. . 

Найдем определитель третьего порядка, раскладывая его по элементам, например, третьего столбца

Пример.

Таким образом, вычисление определителя третьего порядка сводится к вычислению определителей второго порядка.

Решение системы трех линейных уравнений с помощью определителей

Определение. Символ называется определителем третьего порядка. Числа  называются элементами определителя. Элементы   образуют главную диагональ определителя, а элементы   – его побочную диагональ.

Простое правило для запоминаний этого выражения: запишем еще раз все элементы определителя, приписав к ним снова первый и второй столбцы:

Со знаком плюс берем произведение элементов, стоящих на главной диагонали определителя, а также на двух параллелях к ней, содержащих по три элемента (на рисунке они перечеркнуты сплошной линией). Со знаком минус берем произведения элементов, стоящих на побочной диагонали и на двух параллелях к ней, содержащие по три элемента (на рисунке они перечеркнуты пунктиром).

Решение системы линейных уравнений с помощью определителей можно записать так (формулы Крамера): Определитель, стоящий в знаменателе, называется главным определителем системы уравнений. Естественно, вышеприведенные формулы применимы только в том случае, если главный определитель отличен от нуля.

Пример. Решить систему Имеем После этого сводим решение исходной системы к решению системы с двумя неизвестными: Решив ее, получим  .

Задачи.

Решите следующие системы линейных уравнений:

1. 

2. 

3. 

Метод Крамера (правило Крамера) — способ решения квадратных систем линейных алгебраических уравнений с ненулевым определителем основной матрицы (причём для таких уравнений решение существует и единственно). Назван по имени Габриэля Крамера (1704–1752), придумавшего метод. Вычислительная сложность[править | править исходный текст]

Метод Крамера требует вычисления   определителей размерности  . При использовании метода Гаусса для вычисления определителей, метод имеет временную сложность порядка  , что хуже, чем если бы метод Гаусса напрямую использовался для решения системы уравнений. Поэтому метод считался непрактичным. Однако в 2010 году было показано, что метод Крамера может быть реализован со сложностью  , сравнимой со сложностью метода Гаусса.^[1]

4 Вопрос

Вектор — многозначный термин; величина, характеризующаяся размером и направлением.

Чтобы найти модуль вектора надо извлечь корень квадратный из суммы квадратов его проекций.

Вы уже знаете, что проекцию вектора на ось можно найти, если из координаты точки конца вектора вычесть координату точки его начала. Тогда для нашего вектора, если он задан на плоскости, а_x = х_к − х_н, а_y = y_к − y_н. Следовательно, модуль вектора можно найти по формуле

.

Нетрудно сообразить, как будет выглядеть формула, если вектор задан в пространстве.  Обратите еще внимание вот на что. Ведь модуль вектора – это длина отрезка, заключенного между двумя точками: точкой начала вектора и точкой его конца. А это ни что иное, как расстояние между двумя этими точками. Поэтому чтобы найти расстояние между любыми двумя точками, нужно вычислить модуль вектора, соединяющего эти точки. Коллинеарные и компланарные векторы. Линейная зависимость векторов. Координаты вектора в базисе.

Два вектора, параллельные одной прямой, называются коллинеарными. Два ненулевыхколлинеарных вектора либо одинаково, либо противоположно направлены. Нулевой вектор считаетсяколлинеарным любому вектору.

Теорема 1. Если векторы −→a и −→b коллинеарны и −→a/=−→0 , то существует  единственное число α такое, что −→b=α−→a. Векторы −→a,−→b и −→c называются компланарными, если существует плоскость, которой они  параллельны.

Теорема 2. Если векторы −→a,−→b и −→c компланарны, а векторы −→a,−→b не коллинеарны, то существуют единственные числа α и β такие, что −→c=α−→a+β−→b. Рассмотрим систему векторов −−→a1,−−→a2,...,−−→an и зададим n действительных чисел α1,α2,...,αn. Вектор −→b=α1−−→a1+α2−−→a2+...+αn−−→an называется линейной комбинацией данных векторов −−→a1,−−→a2,...,−−→an. Система векторов −−→a1,−−→a2,...,−−→an называется линейно зависимой, если существуют числа α1,α2,...,αn, среди которых хотя бы одно отлично от нуля, и такие что α1−−→a1+α2−−→a2+...+αn−−→an=−→0.  Если же равенство α1−−→a1+α2−−→a2+...+αn−−→an=−→0 справедливо только при α1=α2=...=αn=0, то система векторов −−→a1,−−→a2,...,−−→an называется линейно независимой.

 

Базисом векторного пространства называется система векторов, удовлетворяющая следующим трем условиям: 1) она упорядочена, 2) линейно независима, 3) всякий вектор пространства является линейной комбинацией векторов системы. Число векторов базиса называется размерностью пространства.

Теорема 3. Если векторы −→a,−→b и −→c не компланарны, то для любого вектора −→p существуют единственные числа α,β,γ такие, что −→p=α−→a+β−→b+γ−→c. Пусть B=(−→a,−→b,−→c) - базис векторного пространства V и −→d∈V . Если  −→d=x−→a+y−→b+z−→c, то числа x,y,z называются координатами вектора −→d относительно базиса B и записывают −→d(−→x,−→y,−→z).

Теорема 4. Координаты суммы векторов равны сумме соответствующих координат слагаемых. При умножении вектора на число на это же число умножается каждая координата данного вектора. Операции над векторами[править | править исходный текст]

Сложение[править | править исходный текст]

Операцию сложения геометрических векторов можно определить несколькими в принципе эквивалентными способами, каждый из которых однако может быть удобнее или естественнее в зависимости от ситуации и типа рассматриваемых векторов. Так, правило треугольника наиболее простое и геометрически фундаментальное, удобно для сложения любого количества векторов, однако правило параллелограмма более удобно для фиксированных или скользящих векторов, так как не требует переноса второго слагаемого (что в принципе могло бы смущать или запутывать в этих случаях) для построения суммы, то есть удобно для сложения векторов с началом в одной точке, вдобавок имея то преимущество, что в нём более очевидно равноправие слагаемых; координатное же определение, являясь простым и удобным, бывает очень полезно для вычислений.

Два вектора u, v и вектор их суммы

Правило треугольника. Для сложения двух векторов   и   по правилу треугольника оба эти вектора переносятся параллельно самим себе так, чтобы начало одного из них совпадало с концом другого. Тогда вектор суммы задаётся третьей стороной образовавшегося треугольника, причём его начало совпадает с началом первого вектора, а конец с концом второго вектора. Это правило прямо и естественно обобщается для сложения любого количества векторов, переходя в правило ломаной: начало второго вектор совмещается с концом первого, начало третьего — с концом второго и т. д., сумма же n векторов есть вектор, с началом, совпадающим с началом первого, и концом, совпадающим с концом n-го (то есть изображается направленным отрезком, замыкающим ломаную).

Правило параллелограмма. Для сложения двух векторов   и   по правилу параллелограмма оба эти векторы переносятся параллельно самим себе так, чтобы их начала совпадали. Тогда вектор суммы задаётся диагональю построенного на них параллелограмма, исходящей из их общего начала.

Сложение векторов с использованием координат. Каждая координата (см. Базис и разложение по базису) суммы векторов есть сумма соответствующей координаты всех (двух или более) суммируемых векторов. Например, для двумерного случая:

(Могут быть использованы прямоугольные или косоугольные координаты; правило сложения остаются одинаковыми для обоих этих типов координат).

• Модуль (длину) вектора суммы   можно вычислить, например, используя теорему косинусов   где   — угол между отрезками, изображающими данные векторы, когда начало одного вектора совпадает с концом другого. Или:   где   — угол между векторами (выходящими из одной точки).

Сложение двух скользящих векторов определено лишь в случае, когда прямые, на которых они расположены, пересекаются. Тогда каждый из векторов переносится вдоль своей прямой в точку пересечения этих прямых, после чего сложение осуществляется по правилу параллелограмма.

Сложение двух фиксированных векторов определено лишь в случае, когда они имеют общее начало. Их сложение в этом случае осуществляется по правилу параллелограмма.

Сложение коллинеарных скользящих векторов

Если скользящие векторы параллельны, то при их сложении главная трудность состоит в определении прямой, на которой будет расположена их сумма. (Величину и направление вектора суммы было бы естественно определить точно так же, как и в случае сложения свободных векторов.) В механике при изучении статики для решения вопроса о сложении параллельных сил, которые, как известно, задаются скользящими векторами, вводится дополнительная гипотеза: к системе векторов можно добавить два вектора, равных по величине, противоположных по направлению и расположенных на одной прямой, пересекающей прямые, на которых расположены данные векторы. Пусть, например, надо сложить скользящие векторы   и  , расположенные на параллельных прямых. Добавим к ним векторы   и  , расположенные на одной прямой. Прямые, на которых расположены векторы   и  ,   и   пересекаются. Поэтому определены векторы

Прямые, на которых расположены векторы   и  , пересекаются всегда, за исключением случая, когда векторы   и   равны по величине и противоположны по направлению, в котором говорят, что векторы   и   образуют пару (векторов).

Таким образом, под суммой векторов   и   можно понимать сумму векторов   и  , и эта сумма векторов определена корректно во всех случаях, когда векторы   и   не образуют пару.