1)) Вопрос
Веще́ственное, или действи́тельное число[1] — математическая абстракция, возникшая из потребности измерения геометрических и физических величин окружающего мира, а также проведения таких операций как извлечение корня, вычисление логарифмов, решениеалгебраических уравнений[2].
Числовая прямая
Если натуральные числа возникли в процессе счета, рациональные — из потребности оперировать частями целого, то вещественные числа предназначены для измерения непрерывных величин. Таким образом, расширение запаса рассматриваемых чисел привело к множеству вещественных чисел, которое помимо чисел рациональных включает также другие элементы, называемые иррациональными числами.
Наглядно понятие вещественного числа можно представить себе при помощи числовой прямой. Если на прямой выбрать направление, начальную точку и единицу длины для измерения отрезков, то каждому вещественному числу можно поставить в соответствие определённую точку на этой прямой, и обратно, каждая точка будет представлять некоторое, и притом только одно, вещественное число. Вследствие этого соответствия термин числовая прямая обычно употребляется в качестве синонима множества вещественных чисел.
Понятие вещественного числа прошло долгий путь становления. Ещё в Древней Греции в школе Пифагора, которая в основу всего ставила целые числа и их отношения, было открыто существованиенесоизмеримых величин (несоизмеримость стороны и диагонали квадрата), то есть в современной терминологии — чисел, не являющихся рациональными. Вслед за этим Евдоксом Книдским была предпринята попытка построить общую теорию числа, включавшую несоизмеримые величины. После этого, на протяжении более двух тысяч лет, никто не ощущал необходимости в точном определении понятия вещественного числа, несмотря на постепенное расширение этого понятия[3]. Лишь во второй половине XIX века, когда развитие математического анализа потребовало перестройки его основ на новом, более высоком уровне строгости, в работах К. Вейерштрасса, Р. Дедекинда, Г. Кантора,Э. Гейне, Ш. Мере[3] была создана строгая теория вещественных чисел.
С точки зрения современной математики, множество вещественных чисел — непрерывное упорядоченное поле. Это определение, или эквивалентная система аксиом, в точности определяет понятие вещественного числа в том смысле, что существует только одно, с точностью до изоморфизма, непрерывное упорядоченное поле.
Множество
вещественных чисел имеет стандартное
обозначение — R («полужирное
R»), или 
(англ. blackboard
bold «R»)
от лат. realis —
действительный.
Мно́жество — одно из ключевых понятий математики, в частности, теории множеств и логики.
Понятие множества обычно принимается за одно из исходных (аксиоматических) понятий, то есть не сводимое к другим понятиям, а значит, и не имеющее определения. Однако, можно дать описание множества, например, в формулировке Георга Кантора:
Под «множеством» мы понимаем соединение в некое целое M определённых хорошо различимых предметов m нашего созерцания или нашего мышления (которые будут называться «элементами» множества M). |
Мно́жество — одно из ключевых понятий математики, в частности, теории множеств и логики.
Понятие множества обычно принимается за одно из исходных (аксиоматических) понятий, то есть не сводимое к другим понятиям, а значит, и не имеющее определения. Однако, можно дать описание множества, например, в формулировке Георга Кантора:
Под «множеством» мы понимаем соединение в некое целое M определённых хорошо различимых предметов m нашего созерцания или нашего мышления (которые будут называться «элементами» множества M). |
Мно́жество — одно из ключевых понятий математики, в частности, теории множеств и логики.
Понятие множества обычно принимается за одно из исходных (аксиоматических) понятий, то есть не сводимое к другим понятиям, а значит, и не имеющее определения. Однако, можно дать описание множества, например, в формулировке Георга Кантора:
Под «множеством» мы понимаем соединение в некое целое M определённых хорошо различимых предметов m нашего созерцания или нашего мышления (которые будут называться «элементами» множества M). |
Мно́жество — одно из ключевых понятий математики, в частности, теории множеств и логики.
Понятие множества обычно принимается за одно из исходных (аксиоматических) понятий, то есть не сводимое к другим понятиям, а значит, и не имеющее определения. Однако, можно дать описание множества, например, в формулировке Георга Кантора:
Под «множеством» мы понимаем соединение в некое целое M определённых хорошо различимых предметов m нашего созерцания или нашего мышления (которые будут называться «элементами» множества M). |
Основная статья: Теория множеств
До XIX века математиками рассматривались в основном конечные множества.
Основы теории конечных и бесконечных множеств были заложены Бернардом Больцано, который сформулировал некоторые из её принципов.
С 1872 г. по 1897 г. (главным образом в 1872—1884 гг.) Георг Кантор опубликовал ряд работ, в которых были систематически изложены основные разделы теории множеств, включая теорию точечных множеств и теорию трансфинитных чисел (кардинальных и порядковых). В этих работах он не только ввёл основные понятия теории множеств, но и обогатил математику рассуждениями нового типа, которые применил для доказательства теорем теории множеств, в частности впервые к бесконечным множествам. Поэтому общепризнано, что теорию множеств создал Георг Кантор.
В
частности Георг Кантор определил
множество как «единое имя для совокупности
всех объектов, обладающих данным
свойством». Эти объекты назвал элементами
множества.
Множество объектов, обладающих
свойством 
,
обозначил 
.
Если некоторое множество 
,
то
назвал
характеристическим свойством множества 
.
Эта концепция привела к парадоксам, в частности, к парадоксу Рассела.
Так как теория множеств фактически используется как основание и язык всех современных математических теорий в 1908 г. теория множеств была аксиоматизирована независимо Бертраном Расселем и Эрнстом Цермело. В дальнейшем многие исследователи пересматривали и изменяли обе системы, в основном сохранив их характер. До сих пор они всё ещё известны как теория типов Рассела и теория множеств Цермело. В настоящее время, теорию множеств Кантора принято называть наивной теорией множеств, а вновь построенную аксиоматической теорией множеств.
На сегодняшний день множество определяется как модель, удовлетворяющая аксиомам ZFC (аксиомы Цермело — Френкеля с аксиомой выбора). При таком подходе в некоторых математических теориях возникают совокупности объектов, которые не являются множествами. Такие совокупности называются классами (различных порядков).
Элемент множества[править | править исходный текст]
Объекты, из которых состоит множество, называют элементами множества или точками множества. Множества чаще всего обозначают заглавными буквами латинского алфавита, его элементы — строчными. Если а — элемент множества А, то записывают а ∈ А (а принадлежит А). Если а не является элементом множества А, то записывают а ∉ А (а не принадлежит А). В отличие от мультимножества каждый элемент множества уникален, и в множестве не может быть двух идентичных элементов. Иначе говоря, добавление к множеству элементов, идентичных уже принадлежащим множеству, не меняет его: {6, 11} = {11, 6} = {11, 11, 6, 11, 6}.
Некоторые виды множеств и сходных объектов[править | править исходный текст]
Специальные множества[править | править исходный текст]
Пустое множество — множество, не содержащее ни одного элемента.
Универсальное множество (универсум) — множество, содержащее все мыслимые объекты. В связи с парадоксом Рассела данное понятие трактуется в настоящее время как «множество, включающее все множества, участвующие в рассматриваемой задаче».
Упорядоченное множество — множество, на котором задано отношение порядка.
Сходные объекты
Основная статья: Теория множеств
До XIX века математиками рассматривались в основном конечные множества.
Основы теории конечных и бесконечных множеств были заложены Бернардом Больцано, который сформулировал некоторые из её принципов.
С 1872 г. по 1897 г. (главным образом в 1872—1884 гг.) Георг Кантор опубликовал ряд работ, в которых были систематически изложены основные разделы теории множеств, включая теорию точечных множеств и теорию трансфинитных чисел (кардинальных и порядковых). В этих работах он не только ввёл основные понятия теории множеств, но и обогатил математику рассуждениями нового типа, которые применил для доказательства теорем теории множеств, в частности впервые к бесконечным множествам. Поэтому общепризнано, что теорию множеств создал Георг Кантор.
В частности Георг Кантор определил множество как «единое имя для совокупности всех объектов, обладающих данным свойством». Эти объекты назвал элементами множества. Множество объектов, обладающих свойством , обозначил . Если некоторое множество , то назвал характеристическим свойством множества .
Эта концепция привела к парадоксам, в частности, к парадоксу Рассела.
Так как теория множеств фактически используется как основание и язык всех современных математических теорий в 1908 г. теория множеств была аксиоматизирована независимо Бертраном Расселем и Эрнстом Цермело. В дальнейшем многие исследователи пересматривали и изменяли обе системы, в основном сохранив их характер. До сих пор они всё ещё известны как теория типов Рассела и теория множеств Цермело. В настоящее время, теорию множеств Кантора принято называть наивной теорией множеств, а вновь построенную аксиоматической теорией множеств.
На сегодняшний день множество определяется как модель, удовлетворяющая аксиомам ZFC (аксиомы Цермело — Френкеля с аксиомой выбора). При таком подходе в некоторых математических теориях возникают совокупности объектов, которые не являются множествами. Такие совокупности называются классами (различных порядков).
Элемент множества[править | править исходный текст]
Объекты, из которых состоит множество, называют элементами множества или точками множества. Множества чаще всего обозначают заглавными буквами латинского алфавита, его элементы — строчными. Если а — элемент множества А, то записывают а ∈ А (а принадлежит А). Если а не является элементом множества А, то записывают а ∉ А (а не принадлежит А). В отличие от мультимножества каждый элемент множества уникален, и в множестве не может быть двух идентичных элементов. Иначе говоря, добавление к множеству элементов, идентичных уже принадлежащим множеству, не меняет его: {6, 11} = {11, 6} = {11, 11, 6, 11, 6}.
Некоторые виды множеств и сходных объектов[править | править исходный текст]
Специальные множества[править | править исходный текст]
Пустое множество — множество, не содержащее ни одного элемента.
Универсальное множество (универсум) — множество, содержащее все мыслимые объекты. В связи с парадоксом Рассела данное понятие трактуется в настоящее время как «множество, включающее все множества, участвующие в рассматриваемой задаче».
Упорядоченное множество — множество, на котором задано отношение порядка.
2 вопрос
Систе́ма координа́т — комплекс определений, реализующий метод координат, то есть способ определять положение точки или тела с помощью чисел или других символов. Декартовы координаты[править | править исходный текст]
Основная статья: Прямоугольная система координат
Расположение
точки P на
плоскости определяется декартовыми
координатами с
помощью пары чисел 
—
расстояние
от точки P до
оси y с
учетом знака
—
расстояние
от точки P до
оси x с
учетом знака
В
пространстве необходимо уже 3 координаты 
— расстояние от точки P до плоскости yz
— расстояние от точки P до плоскости xz
—
расстояние
от точки P до
плоскости xy
Полярные координаты[править | править исходный текст]
Полярные координаты.
Основная статья: Полярная система координат
В полярной системе координат, применяемой на плоскости, положение точки P определяется её расстоянием до начала координат r = |OP| и углом φ её радиус-вектора к оси Ox.
В пространстве применяются обобщения полярных координат — цилиндрические и сферические системы координат.
Цилиндрические координаты[править | править исходный текст]
Цилиндрические координаты.
Основная статья: Цилиндрическая система координат
Цилиндрические
координаты —
трёхмерный аналог полярных, в котором
точка P представляется
упорядоченной тройкой 
В
терминах декартовой системы координат,
(радиус) —
расстояние от оси z до
точки P,
(азимут или
долгота) — угол между положительной
(«плюсовой») частью оси x и
отрезком, проведённым от полюса до
точки P и
спроектированной на плоскость xy.(высота) равна декартовой z-координате точки P.
Примечание: в литературе для первой (радиальной) координаты иногда используется обозначение ρ, для второй (угловой, или азимутальной) — обозначение θ, для третьей координаты — обозначение h.
Полярные координаты имеют один недостаток: значение φ не определено при r = 0.
Цилиндрические
координаты полезны для изучения систем,
симметричных относительно некоторой
оси. Например, длинный цилиндр с
радиусом R в
декартовых координатах (с осью z,
совпадающей с осью цилиндра) имеет
уравнение 
тогда
как в цилиндрических координатах оно
выглядит гораздо проще, как r = R.
Сферические координаты[править | править исходный текст]
Сферические координаты.
Основная статья: Сферическая система координат
Сферические координаты — трёхмерный аналог полярных.
В
сферической системе координат расположение
точки P определяется
тремя компонентами: 
В
терминах декартовой системы координат,
(радиус) —
расстояние от точки P до
полюса,
(азимут
или долгота) — угол между положительной
(«плюсовой») полуосью x и
проекцией отрезка, проведённого из
полюса до точки P,
на плоскость xy.
(широта
или полярный угол) — угол между
положительной («плюсовой») полуосью z и
отрезком, проведённым из полюса до
точки P.
Примечание: в литературе иногда азимут обозначается θ, а полярный угол - φ. Иногда для радиальной координаты используется r вместо ρ. Кроме того, диапазон углов для азимута может выбираться как (−180°, +180°] вместо диапазона [0°, +360°). Наконец, полярный угол может отсчитываться не от положительного направления оси z, а от плоскости xy; в этом случае он лежит в диапазоне [−90°, +90°], а не в диапазоне [0°, 180°]. Иногда порядок координат в тройке выбирается отличным от описанного; например, полярный и азимутальный углы могут быть переставлены.
Сферическая система координат также имеет недостаток: φ и θ не определены, если ρ = 0; угол φ не определён также и для граничных значений θ = 0 и θ = 180° (или для θ = ±90°, в случае принятия соответствующего диапазона для этого угла).
Для построения точки P по её сферическим координатам нужно от полюса вдоль положительной полуоси z отложить отрезок, равный ρ, повернуть его на угол θ вокруг оси y в направлении положительной полуоси x, и затем повернуть на угол θ вокруг оси z в направлении положительной полуоси y.
Сферические
координаты полезны при изучении систем,
симметричных относительно точки. Так,
уравнение сферы с радиусом R в
декартовых координатах с началом отсчёта
в центре сферы выглядит как 
тогда
как в сферических координатах оно
становится намного проще: 
d = \/(х2— х1)2 + (y2— y1)2
Полученная формула позволяет находить расстояние между любыми двумя точками плоскости, если только известны координаты этих точек
d = \/(х2— х1)2 + (y2— y1)2
Полученная формула позволяет находить расстояние между любыми двумя точками плоскости, если только известны координаты этих точек
d = \/(х2— х1)2 + (y2— y1)2
Полученная формула позволяет находить расстояние между любыми двумя точками плоскости, если только известны координаты этих точек
d = \/(х2— х1)2 + (y2— y1)2
Полученная формула позволяет находить расстояние между любыми двумя точками плоскости, если только известны координаты этих точек
d = \/(х2— х1)2 + (y2— y1)2
Полученная формула позволяет находить расстояние между любыми двумя точками плоскости, если только известны координаты этих точек
d = \/(х2— х1)2 + (y2— y1)2
Полученная формула позволяет находить расстояние между любыми двумя точками плоскости, если только известны координаты этих точек
d = \/(х2— х1)2 + (y2— y1)2
Полученная формула позволяет находить расстояние между любыми двумя точками плоскости, если только известны координаты этих точек