§ 11. Средние величины как статистические показатели.

Средние величины используются на этапе обработки и обобщения полученных первичных статистических данных. Потребность определения средних величин связана с тем, что у различных единиц исследуемых совокупностей индивидуальные значения одного и того же признака, как правило, неодинаковы.

Средней величиной называют показатель, который характеризует обобщенное значение признака или группы признаков в исследуемой совокупности.

Если исследуется совокупность с качественно однородными признаками, то средняя величина выступает здесь как типическая средняя (для групп работников определенной отрасли с фиксированным уровнем дохода определяется типическая средняя расходов на предметы первой необходимости). Типическая средняя обобщает качественно однородные значения признака в данной совокупности.

При исследовании совокупности с качественно разнородными признаками на первый план может выступить нетипичность средних показателей (средние показатели урожайности зерновых культур по всей территории России (районы разных климатических зон и разных зерновых культур), средние показатели рождаемости населения по всем регионам страны, средние температуры за определенный период). Здесь средние величины обобщают качественно разнородные значения признаков или системных пространственных совокупностей (международное сообщество, континент, государство, регион, район и т.д.) или динамических совокупностей, протяженных во времени (век, десятилетие, год, сезон и т.д.). Такие средние величины называют системными средними.

Таким образом, значение средних величин состоит в их обобщающей функции. Средняя величина заменяет большое число индивидуальных значений признака, обнаруживая общие свойства, присущие всем единицам совокупности. Это, в свою очередь, позволяет избежать случайных причин и выявить общие закономерности, обусловленные общими причинами.

§ 12. Виды средних величин и методы их расчета

На этапе статистической обработки могут быть поставлены самые различные задачи исследования, для решения которых нужно выбрать соответствующую среднюю. При этом необходимо руководствоваться следующим правилом: величины, которые представляют собой числитель и знаменатель средней, должны быть логически связаны между собой.

Используются две категории средних величин: степенные средние; структурные средние.

Первая категория степенных средних включает: среднюю арифметическую, среднюю гармоническую, среднюю квадратическую и среднюю геометрическую.

Средние величины бывают простые и взвешенные. Взвешенными средними называют величины, которые учитывают, что некоторые варианты значений признака могут иметь различную численность, в связи с чем каждый вариант приходится умножать на эту численность. Иными словами, «весами» выступают числа единиц совокупности в разных группах, т.е. каждый вариант «взвешивают» по своей частоте. Частоту f называют статистическим весом или весом средней.

Введем следующие условные обозначения:

- величины, для которых исчисляется средняя;

- средняя, где черта сверху свидетельствует о том, что имеет место

осреднение индивидуальных значений;

- частота (повторяемость индивидуальных значений признака);

n - численность совокупности.

Различные средние выводятся из общей формулы степенной средней:

при k = -1 - средняя гармоническая; k = 0 - средняя геометрическая;

k = 1 - средняя арифметическая; k = 2 - средняя квадратическая.

Чем выше показатели степени k, тем больше значения средней величины (если индивидуальные значения признака варьируют).

Итак, имеем следующее соотношение, которое называется правилом мажорантности: .

Определить среднюю во многих случаях можно через исходное соотношение средней (ИСС) или ее логическую формулу:

.

Для каждого показателя, используемого в социально-экономическом анализе, можно составить только одно истинное исходное соотношение для расчета средней.

Однако в зависимости от того, в каком виде представлены исходные данные для расчета, зависит, каким именно образом будет реализовываться ИСС. В каждом конкретном случае для реализации исходных соотношений потребуется средняя одного из перечисленных видов.

Средняя арифметическая.

Средняя арифметическая простая (невзвешенная) равна сумме отдельных значений признака, деленной на число этих значений.

. (1)

Простая средняя арифметическая применяется в случаях, когда имеются отдельные значения признака, т.е. данные не сгруппированы.

Пример. Семь членов бригады имеют следующий стаж работы:

Табельный номер рабочего	1	2	3	4	5	6	7
Стаж (лет)	10	3	5	12	11	7	8

Найти средний стаж работников бригады.

Решение. В соответствии с зависимостью (1) имеем

.

Таким образом, средний стаж работы членов бригады равен 8 годам.

Определяющими показателями в примере являются стаж каждого работника и число работников бригады. При вычислении средней общая сумма отработанных лет осталась прежней, но распределенной как бы между всеми работниками поровну.

Если данные представлены в виде рядов распределения или группировок, то средняя исчисляется иначе, в виде средней арифметической взвешенной:

. (2)

Так, пусть нам необходимо рассчитать средний курс акций какого-то акционерного общества на торгах фондовой биржи. Известно, что сделки осуществлялись в течение 5 дней (5 сделок), количество проданных акций по курсу продаж распределилось следующим образом:

1 - 800 ак. - 1010 руб. 2 - 650 ак. - 990 руб. 3 - 700 ак. - 1015 руб.

4 - 550 ак. - 900 руб. 5 - 850 ак. - 1150 руб.

Исходным соотношением для определения среднего курса стоимости акций является отношение общей суммы сделок (ОСС) к количеству проданных акций (КПА):

ОСС = 1010 ·800+990·650+1015·700+900·550+1150·850= 3 634 500;

КПА = 800+650+700+550+850=3550.

В этом случае средний курс стоимости акций равен

(руб).

Необходимо знать свойства арифметической средней, что очень важно как для ее использования, так и при ее расчете. Можно выделить три основных свойства, которые наиболее всего обусловили широкое применение арифметической средней в статистико-экономических расчетах.

Свойство первое (нулевое): сумма положительных отклонений индивидуальных значений признака от его среднего значения равна сумме отрицательных отклонений. Это очень важное свойство, поскольку оно показывает, что любые отклонения (как с +, так и с -), вызванные случайными причинами, взаимно будут погашены.

Свойство второе (минимальное): сумма квадратов отклонений индивидуальных значений признака от средней арифметической меньше, чем от любого другого числа.

Свойство третье: средняя арифметическая постоянной величины равна этой постоянной: при а = const.

Кроме этих трех важнейших свойств средней арифметической существуют так называемые расчетные свойства, которые постепенно теряют свою значимость в связи с использованием электронно-вычислительной техники:

1. Если индивидуальное значение признака каждой единицы умножить или разделить на постоянное число, то средняя арифметическая увеличится или уменьшится во столько же раз;

2. Средняя арифметическая не изменится, если вес (частоту) каждого значения признака разделить на постоянное число;

3. Если индивидуальные значения признака каждой единицы уменьшить или увеличить на одну и ту же величину, то средняя арифметическая уменьшится или увеличится на ту же самую величину.