Уравнения высших порядков, приводящиеся к квадратурам.
Из того, что дифференциальное уравнение n-го порядка
(1)
имеет решение, разумеется, не следует, что это решение выражается в квадратурах (например, для уравнений первого порядка такая возможность представляется далеко не всегда).
Оставляя в стороне линейные уравнения, рассмотрим здесь некоторые, наиболее важные типы уравнений, интригуемых в квадратурах или по крайней мере допускающих понижение порядка.
Интегрирование
таких уравнений будет происходить путем
сведения к уравнениям низшего порядка.
При этом порядки промежуточных уравнений,
называемых промежуточными интегралами,
постепенно понижаются, а число входящих
в них произвольных постоянных
увеличивается.
Интегрирование закончено, когда мы доходим до общего интеграла:
вовсе не содержащего производных и заключающего n произвольных постоянных.
Наиболее простым является тот случай, когда правая часть уравнения (1) зависит только от x:
Общее решение в этом случае получаем с помощью последовательных квадратур:
Решение с
начальными условиями
может быть записано в виде:
Впрочем, на практике обычно не используют готовую формулу, а используют начальные условия, находят значения постоянных постепенно в процессе интегрирования. 2
Примеры:
1)
;
.
2)
.
Найти решение, удовлетворяющее условиям:
,
,
,
.
Интегрируя, находим первый интеграл:
Пользуясь начальными
условиями, определяем
:
1= -1+
;
=2;
таким образом,
Интегрируем далее:
Используя начальные
условия, находим что
=
-1; таким образом,
Отсюда, наконец,
И так как в силу
начальных условий
=
-1, получаем искомое частное решение:
.
Рассмотрим теперь уравнения вида:
Применяя подстановку
,
получаем:
.
Интегрируя, находим первый (промежуточный) интеграл:
Предполагая
возможным решение этого уравнения
относительно
(в элементарных функциях), получаем:
,
или
;
видим, что получили
уравнение типа
;
квадратур дают общее решение:
.
6
Уравнения, допускающие понижение порядка.
Рассмотрим случаи понижения порядка дифференциальных уравнений.
Укажем два случая, когда дифференциальное уравнение второго порядка
приводится к дифференциальному уравнению первого порядка.
Случай 1:
Пусть правая часть дифференциального уравнения явно не содержит x, т.е. уравнение имеет вид:
Полагая здесь:
и
Получим дифференциальное уравнения первого порядка:
,
Где роль независимой
переменной играет
.
4
Случай 2:
Пусть правая часть дифференциального уравнения явно не содержит , т.е. уравнение имеет вид:
полагая здесь:
и
получим уравнение первого порядка:
с известной функцией p 4 .
Пример 1:
Решить уравнение
Согласно случаю
1 полагаем
и
.
Тогда уравнение
примет вид:
Отсюда :
1.
,
т.е.
2.
,
т.е.
и
Потенцируя, будем иметь
и следовательно,
После интегрирования получаем
и значит, что
где и - произвольные постоянные. 2
Пример 2:
Найти решение уравнения
удовлетворяющее
начальным условиям
и
,
при
.
В уравнении
полагаем
и
.
Тогда
или,
Полученное уравнение
– однородное, поэтому применим
следовательно,
и
Подставляя в уравнение , будем иметь
отсюда,
или
Интегрируя, получаем
И, следовательно,
т.е.
И
.
Для определения
постоянной
используем начальные условия:
при
.
Получаем
т.е.
и, таким образом,
Отсюда имеем
и
Постоянную
определяем из начальных условий. Полагая
и
в формуле
,
получаем
т.е.
.
Следовательно, искомое частное решение
есть
.
2