ФЕДЕРАЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

ФГОУ ВПО «ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»

ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ

ФАКУЛЬТЕТ МАТЕМАТИКИ, ИНФОРМАТИКИ И ФИЗИКИ

ОТДЕЛЕНИЕ МАТЕМАТИКИ

курсовая работа на тему:

«Решение дифференциальных уравнений

высших порядков. »

выполнил: студент 3 курса

факультета математики, информатики и физики

отделения математики

Русанов А.Г.

проверил: Морозов В.А .

Ростов-на-Дону

2008 год

Содержание.

1. Введение………………………………………..…………………………3

2. Общие понятия и определения……………………….……………….....4

1. Теорема Пеано……………………………………………..5

2. Теорема Коши – Пикара. …………………………………6

3. Теорема существования и единственности решения задачи Коши для уравнения…………………………….………….8

3. Уравнения высших порядков, приводящиеся к квадратурам…….. …11

4. Уравнения, допускающие понижение порядка…………………….….14

5. Линейные однородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами……………………………………………………………..18

6. Заключение……………………………………………………….……...22

7. Список литературы………………………………………….…….…….23

Введение.

При изучении явлений природы, решении многих задач физики и техники, химии и биологии, других наук не всегда удается непосредственно установить прямую зависимость между величинами, описывающие тот или иной эволюционный процесс. Однако в большинстве случаев можно установить связь между величинами (функциями) и скоростями их изменения относительно других (независимых) переменных величин, т.е. найти уравнения, в которых неизвестные функции входят под знак производной. Эти уравнения называются дифференциальными.

Простейшим примером дифференциального уравнения является уравнение:

где - известная функция, а - искомая функции независимого переменного.

Характерное свойство дифференциальных уравнений - иметь бесконечное множество решений. Поэтому, решив дифференциальное уравнение, нельзя одновременно найти зависимость между величинами, характеризующими данный процесс. Чтобы выделить из бесконечного множества зависимостей ту, которая описывает этот процесс, надо иметь дополнительную информацию, например, знать начальное состояние процесса. Без этого дополнительного условия задача не определена.

В различных областях человеческой деятельности возникает большое число задач, о таких задачах говорят, что они сводятся к дифференциальным уравнениям. Опыт показывает, что разные по содержанию задачи приводят к одинаковым или сходным уравнениям. Поэтому необходимо выработать приемы решения таких классов уравнений для тех задач, которые привели или могут привести к ним. Этим и занимается математическая наука, называемая теорией дифференциальных уравнений .

Общие понятия и определения.

Определение:

Дифференциальным уравнением порядка n называется соотношение, связывающее независимое переменное, его функцию и ее производные до n-го порядка включительно. Его общий вид:

 В некоторых случаях это уравнение можно разрешить относительно старшей производной y⁽ⁿ⁾:

где функция предполагается быть непрерывной в некоторой области изменения свих аргументов.

Решением уравнения на интервале называется функция , удовлетворяющая условиям:

1. непрерывно дифференцируема раз на I;

2. 

3. обращает уравнение в тождество, т.е.

 Функция или может и не зависеть от некоторых из аргументов но, во всяком случае, уравнение n-го порядка должно содержать производную n-го порядка.

Так же как и уравнение первого порядка, уравнения высших порядков имеют бесконечное количество решений. 3