1.2 Доказательство основных тригонометрических тождеств и возможные следствия.

Основные тригонометрические тождества являются базовыми при изучении тригонометрических выражений. Например, , докажем следующие тождества:

1) ;

Возьмем любой произвольный прямоугольный треугольник с углом при вершине , равным , как показано на рис.1.

П

Рис.1

о теореме Пифагора получаем: , разделим обе части выражения на , получим , но , а . Таким образом, . Это равенство есть тождество. Оно верно для любого острого угла .

2) ;

Чтобы получить это тождество разделим на получим:

или .

3) ;

Если обе части тождества разделить на , то получим .

Значение этих тождеств заключается в том, что они позволяют, зная одну из величин найти две другие.

4) ;

.

5) ;

Примеры, где используются тригонометрические тождества:

Пример 1.

1Решить уравнение .

Решение:

Используя основное тригонометрическое тождество, уравнение представим в виде .

Заменим . Справа распишем формулу разности квадратов: , перенесем вправо и вынесим общий множитель за скобки: . Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю, получаем: , , где .

Ответ: , , где .

Пример 2.

Упростите выражение .

Решение:

Воспользуемся формулой разности квадратов, получим: .

Ответ: .

Пример 3.

Упростите выражение .

Решение:

Анологично примеру 2, получаем .

Ответ: .

Пример 4.

Упростите выражение .

Решение:

Ответ:

1.3 Функциональная линия в школьном курсе математики.

Функциональная линия является одной из центральных линий школьного курса математики. В начальной школе учитель имеет возможность вести подготовительную работу к изучению понятия функции при работе с буквенными выражениями. В данном случае рассматриваются зависимости между компонентами арифметических действий и при решении текстовых задач.

В основной школе вводится понятие функции и связанных с ней понятий: аргумента, области определения и области значения функции. Рассматриваются различные способы задания функции: аналитически, графически, с помощью таблицы, описанием. Дается характеристика каждого способа задания функции, приводятся примеры.

Далее изучаются конкретные функции: прямая пропорциональность, линейная функция, функции и ; затем функция , обратная пропорциональность, квадратичная функция, степенная функция, тригонометрические функции.

Тригонометрические функции отличаются от всех остальных, рассмотренных нами, тем, что они начинают изучаться в курсе геометрии, причем аргументом является не число, а острый угол в прямоугольном треугольнике. Доказывается, что синусы равных острых углов двух прямоугольных треугольников равны, тоже справедливо для косинусов и тангенсов этих углов. Вводится основное тригонометрическое тождество ( ) и доказывается его справедливость. Составляются таблицы значений для , , для углов , равных , , . Учащиеся должны уметь не только вычислять тригонометрические функции углов заданного прямоугольного треугольника, но и строить острый угол по заданной тригонометрической функции этого угла.

С тригонометрическими функциями любого угла учащиеся знакомятся уже в курсе алгебры 9 класса. Это синус, косинус, тангенс, котангенс угла. Отмечается, что область значения синуса и косинуса – это промежуток [-1; 1], область значения тангенса и котангенса – множество всех действительных чисел. Исследуются знаки синуса, косинуса, тангенса и котангенса во всех координатных четвертях.

После введения понятия радиана как единицы измерения углов и некоторых новых для учащихся тригонометрических тождеств в 9 классе выполняются упражнения:

а) на отыскание трех тригонометрических функций угла , если четвертая дана и известны приделы, в которых находится угол ;

б) на преобразование выражений, содержащих тригонометрические функции, с целью их упрощения.

Формулы приведения сообщаются без доказательства в курсе геометрии, но доказываются в курсе алгебры 9 класса. В курсе геометрии вводится понятие единичной окружности, в курсе алгебры 9 класса вводится единичная окружность, которая никак не именуется, поэтому весьма странно формулируется определение тригонометрических функций. Например: «Синусом угла называется отношение ординаты точки В к длине радиуса». Возникает вопрос: «Какого радиуса?». Если рассмотреть требования, предъявляемые к определениям, построенным с учетом родо – видового подчинения понятий, изучаемых в курсе общей методики обучения математике, то данное определение «недоопределено», что является ошибкой в формулировке.

В учебнике геометрии приводится таблица значений для , , для углов , , , когда тригонометрические функции определяются как отношение сторон прямоугольного треугольника. В курсе алгебры 9 класса таблица расширяется: вводятся значения синуса, косинуса и тангенса углов и и таблица пополняется значениями котангенса для углов , , , , , а затем в порядке выполнения обязательного упражнения учащимися предлагается заполнить таблицу для , , , если В учебнике алгебры и начал анализа эти таблицы уже представлены уже заполненными с дополнениями значений Таким образом, создается обзор для творческой деятельности учителя, во – первых, чтобы обеспечить названную преемственность, во – вторых, чтобы активизировать познавательную деятельность учащихся.

Кстати, отсутствие преемственности обучения тригонометрическим функциям наблюдается и в стандартах общего и среднего общего образования математике. Так, в обязательный минимум содержания общеобразовательных программ входит изучение синуса, косинуса, тангенса и котангенса острого угла прямоугольного треугольника в курсе геометрии, по курсу же алгебры изучаются числовые функции, а тригонометрические функции любого угла исключены, очевидно, потому, что они числовыми не являются.

В соответствии со стандартами полного образования школьники должны знать тригонометрические функции, их свойства и графики, периодичность, основной период.

Числовые функции, заданные формулами , , , , называются соответственно синусом, косинусом, тангенсом, котангенсом.

Областью определения синуса и косинуса является множество вех действительных чисел; тангенса – множество всех чисел х, для которых , т.е. ; котангенса – все числа х, для которых , т.е. .

Основной для определения синуса и косинуса числового аргумента становится единичная окружность. В дальнейшем она используется для вывода свойств тригонометрических функций и решения тригонометрических уравнений, поэтому школьники должны свободно оперировать с ней.

В качестве дополнительного материала вводятся тригонометрические функции секанса и косеканса ( и ). О существовании таковых сильные школьники могут догадаться раньше, исходя из рассмотрения функций тангенс и котангенс.

С понятиями четной и нечетной функции школьники впервые знакомились, изучая степенную функцию в 9 классе. Там же они изучают, что синус, тангенс и котангенс – нечетные функции, а косинус – четная функция.

Информация о том, что тригонометрические функции являются периодическими, позволяет облегчить построения графиков этих функций, так как достаточно график каждой из этих функций построить лишь на отрезке длиной Т, а затем перенести его параллельно на расстояние nТ ( ) вправо и влево вдоль ОХ.

На основании исследования свойств каждой из четырех функций , , , строятся их графики.

Среди заданий для проведения письменного экзамена за курс средней школы – задачи на вычисление выражений, содержащих тригонометрические функции, на упрощение таких выражений; предлагается указать наименьшее положительное число х, при котором значение данного выражения, содержащего тригонометрические функции, равно данному числу.

В первой главе была описана история развития тригонометрии, приведены доказательства основных тригонометрических тождеств и следствия из них, приведены преобразования тригонометрических выражений на конкретных примерах, описана функциональная линия в школьном курсе алгебры.