6. Угол между векторами. Проекция вектора на ось.

Пусть заданы векторы и . Выберем в пространстве произвольную точку и отложим от этой точки векторы и .

Углом между и называется наименьший угол , на который нужно повернуть один из заданных векторов до его совпадения со вторым (рис.12).

П

B

усть в пространстве заданы вектор и ось (рис.13).

A

0

A₁

B₁

Обозначим через и проекции на ось точек и (соответственно). Построим вектор и назовем его компонентом вектора по оси .

Проекцией вектора на ось называется длина его компоненты по этой оси, если компонента направлена в ту же сторону, что и ось ; противоположное число, если компонента и ось имеют разные направления, нуль, если компонента есть нулевой вектор. Проекция вектора на ось обозначается в виде пр или пр = .

Выберем на оси единичный вектор имеющий то же направление, что и ось . Угол между векторами и называется углом между вектором и осью .

ТЕОРЕМА 13.1. Проекция вектора на ось равна модулю вектора , умноженному на косинус угла между вектором и осью:

(34)

Доказательство: Пусть и является компонентой вектора на ось (рис.14).

A

B

C

B

C

A

A₁

B₁

B₁

A₁

Если угол между и осью острый, то компонента направлена в ту же сторону, что и ось . Тогда . Из треугольника следует, что . Тогда .

Если же , то компонента направлена в противоположную по отношению к оси сторону. Следовательно, . Из треугольника следует, что . Тогда .

Если , то компонента есть нулевой вектор. Тогда и .

Итак, для любых углов . Опираясь на ранее рассмотренные линейные операции над векторами, можно убедиться, что для проекций векторов на ось справедливы следующие теоремы (без доказательств).

ТЕОРЕМА 13.2. Проекция суммы векторов на ось равна сумме проекции слагаемых векторов на ту же ось:

. (35)

ТЕОРЕМА 13.3. Если вектор умножить на число , то его проекция на ось умножится на это число:

. (36)

6. Линейная комбинация векторов. Базис.

Пусть заданы векторы и числа . Выражение называется линейной комбинацией векторов . Очевидно, что линейная комбинация векторов является вектором. Рассмотрим особый случай, когда

. (37)

Если равенство (37) возможно только при всех , равных нулю, то векторы называются линейно-независимыми. Если же это равенство справедливо не при всех , где , то векторы называются линейно-зависимыми.

Пусть линейно-зависимы. Тогда среди найдется хотя бы одно не равное нулю число. Пусть . Разделив обе части равенства (37) на , получим

,

где .

Выражение , является линейной комбинацией векторов . Итак, если векторы линейно-зависимы, то хотя бы один из них является линейной комбинацией остальных.

Справедливо и обратное утверждение: если хотя бы один вектор является линейной комбинацией других векторов, то вся группа векторов линейно-зависима. Пусть, например,

.

Тогда и коэффициент при отличен от нуля. Это означает, что вектора линейно-зависимы. Примерами линейно-зависимых векторов являются любые два вектора прямой; любые три вектора плоскости; любые четыре вектора пространства (рис. 15-17).

0

0

В то же время два неколлинеарных вектора плоскости (рис.16) или три некомпланарных вектора пространства (рис.17) являются примерами линейно-независимых векторов.

Любая группа, составленная из максимального числа линейно-независимых векторов некоторого пространства , называется базисом этого пространства. Число векторов базиса называется размерностью пространства. Так, базисом на прямой (пространства ) является любой ненулевой вектор этой прямой. Размерность прямой равна единице. Базисом на плоскости (пространства ) являются любые два неколлинеарных вектора этой плоскости. Размерность плоскости равна двум. Базисом в объемном пространстве (пространство ) являются любые три некомпланарные вектора. Размерность этого пространства равна трем.

Пусть векторы образуют базис пространства . Тогда любой вектор этого пространства является линейной комбинацией базисных векторов, т.е.

. (38)

Представление вектора в форме (38) называется разложением этого вектора по базисным векторам.

Числа разложения называются координатами вектора по базису . Этот факт записывается в виде .

Векторы , образующие базис, имеют общее начало 0 и вектор , где - некоторая точка пространства, то числа называют также координатами этой точки. Этот факт записывают в виде .