Скалярные и векторные величины.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 11.1. Величина, определяемая заданием своего численного значения, называется скалярной величиной.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 11.2.Величина, определяемая заданием своего численного значения и направления, называется векторной величиной.
Примерами скалярных
величин являются длина, площадь, объем,
масса, температура и др. Скалярные
величины обозначаются символами
и изображаются точками соответствующей
числовой оси. Примерами векторных
величин являются сила, скорость, ускорение
и др. Векторные величины изображаются
с помощью векторов – направленных
отрезков, т.е. таких отрезков, у которых
одна из ограничивающих их точек принята
за начало вектора, а другая за его конец.
Пусть точка А
есть начало вектора, а точка В-его
конец, тогда этот вектор обозначается
символом
и изображается с помощью стрелки (рис.4).
В
B
.
Расстояние между началом и концом
вектора называется длиной
вектора или его
модулем. Модуль вектора
обозначается символами
…
A
Вектор, начало
которого совпадает с его концом,
называется нулевым
и обозначается
.
Нулевой вектор не имеет определенного
направления и его
.
Векторы, расположенные на одной прямой или на параллельных прямых, называются коллинеарными.
Векторы, расположенные на одной плоскости или на параллельных плоскостях, называются компланарными.
Два вектора
и
называются равными,
если они коллинеарны, одинаково направлены
и имеют одинаковую длину. Равенство
векторов записывается в виде
.
Из определения равенства векторов следует, что вектор можно переносить параллельно самому себе из одной точки пространства в любую другую его точку.
Вектор - называется противоположным вектором для вектора , если он ему коллинеарен, имеет одинаковую с длину , но направлен в противоположную сторону. Векторы и - называются взаимно противоположными векторами.
Вектор, длина
которого равна единице, называется
единичным
вектором
и обозначается символом
.
Линейные опреции над векторами.
Операции сложения и вычитания векторов и умножения вектора на число называются линейными операциями над векторами.
ложение векторов.
Суммой векторов
и
называется третий вектор
,
начало которого совпадает с началом
вектора
,
а конец – с концом вектора
,
при условии, что начало вектора
приложено к концу вектора
(рис.5).
N
Q
M
P
Сумма векторов
может быть найдена и по правилу
параллелограмма (рис.6). Из определения
суммы векторов следует, что сложение
векторов подчиняется переместительному
закону
.
Действительно, пусть
и
есть параллелограмм. Тогда
и
,
.
Отсюда
.
Понятие суммы
векторов, введенное для двух векторов,
можно обобщить на сумму любого конечного
числа слагаемых. Например, если заданы
три вектора
и
,
то суммой этих векторов называется
вектор
,
определяемый по правилу
.
Аналогично, если заданы векторы
,
где
,
,
то суммой этих векторов называется
вектор.
.
П
N
P
(рис.7).
M
Q
Пусть
.
Тогда
,
.
Следовательно,
.
Разность
векторов.
Разностью векторов
и
называется такой вектор
,
что
.
Для построения вектора
по данным векторам
и
можно воспользоваться одним из способов,
сущность которых пояснена на рис.8 и
рис.9.
Умножение
вектора на число.
Пусть даны вектор
и число
.
Произведением вектора
на число
называется вектор
,
коллинеарный вектору
,
имеющий длину
и то же направление, что и вектор
,
если
,
и противоположное направление, если
.
Если
,
то
.
Следствие 1.
Из определения умножения вектора на
число следует, что если
,
то векторы
и
коллинеарны. Очевидно, что если
и
коллинеарные векторы, то
.
Таким образом, два вектора
и
коллинеарны тогда и только тогда, когда
место имеет равенство
.
Следствие 2.
Противоположный вектор -
можно рассматривать как произведение
вектора
на
=-1,
т.е.
.
Следствие 3. Пусть дан вектор . Рассмотрим вектор , коллинеарный , направленный, как , и имеющий длину, равную единице. Тогда, согласно операции умножения вектора на число, следует, что
(33)
Умножение вектора
на число подчиняется распределительным
законам
,
и сочетательному закону
.
Покажем, например,
справедливость первого из распределительных
законов. Построим на векторах
параллелограмм
,
на векторах
,
параллелограмм
(рис10). Из подобия этих параллелограммов
следует, что
.
N’
P’
N
M
Q
Q’
Аналогично можно убедиться и в справедливости оставшихся законов.
ПРИМЕР 12.1. Точка
является центром тяжести треугольника
.
Доказать, что
.
Решение. Известно,
что центр тяжести треугольника находится
в точке пересечения его медиан. Обозначим
через
середину стороны
и построим вектор
.
Тогда, согласно операции умножения
вектора на скаляр и свойства медианы,
получим
.
Построим на векторах
и
параллелограмм
(рис. 11).
B
0
A
P
D
C
Тогда, согласно
операции сложения векторов,
.
Тогда
является точкой пересечения диагоналей
этого параллелограмма.
Следовательно,
или
.
Итак,
.
Отсюда
.