6. Плохо обусловленные системы линейных уравнений.

Если при исследовании какой-либо технологической задачи вы получаете систему линейных алгебраических уравнений, то всегда можно ответить на вопрос, сколько решений она имеет, и найти их методом Крамера или Гаусса. Казалось бы, никаких проблем при этом не остается. Однако это не так.

При моделировании технологических процессов ряд параметров, как правило, определяется приближенно, с некоторой погрешностью (например, как результат некоторых измерений). Поэтому естественным требованием к математической модели является устойчивость ее решений по отношению к «малым» погрешностям входных параметров. Когда модель представляет собой систему линейных алгебраических уравнений, такая неустойчивость возникает в случае, так называемых плохо обусловленных систем. Поясним это на одном примере.

Предположим, наша задача свелась к решению следующей системы двух линейных алгебраических уравнений:

.

Решим ее методом Крамера:

, ,

, , .

Таким образом, эта система имеет единственное решение .

Предположим теперь, что коэффициенты этого уравнения определяются с незначительной погрешностью и вместо 111 в правой части 2-го уравнения мы получили 110,1, т.е. ошибка составляет менее1%. Однако полученное при этом решение отличается в 10 раз! Ясно, что в такой ситуации говорить о том, что математическая модель адекватно отражает действительность, не приходится. В таких случаях говорят, что задача некорректна, и применяют специальные (регулирующие) методы для ее решения, привлекая дополнительную информацию об изучаемом процессе, не отраженную в математической модели (системе линейных алгебраических уравнений).

В заключение, в качестве примера применения системы линейных алгебраических уравнений для решения практически важных задач приведем задачу интерференции скважин в пласте.

Задача интерференции скважин в пласте заключается в определении дебитов , батарей скважин по известному давлению на контуре питания и забойным давлениям , на батареях (рис.3).

Э

та задача может быть сведена к системе линейных алгебраических уравнений. В случае интерференции двух прямолинейных батарей соответствующая система имеет вид

где - проницаемость и мощность пласта;

- вязкость нефти;

- число скважин в батареях;

- радиусы скважин;

- расстояния между скважинами в батареях;

- расстояния между батареями;

- расстояние от батарей до контура питания.

Например, при следующих значениях параметров

м; м;

=5000 м; м;

мкм²; м; с Па с;

; МПа; МПа

получим следующую систему уравнений:

Ее решение, полученное методом Крамера:

; .

Таким образом, по заданным депрессиям (разность между контурным давлением и забойным на батареях) с помощью системы линейных алгебраических уравнений можно рассчитать дебиты батарей скважин, что является важной задачей проекта разработки месторождений.

Однако в случае, когда расстояние между батареями и скважинами в батареях мало по сравнению с расстоянием до контура питания , получаемые системы являются плохо обусловленными, что показывает следующий пример.

Пусть значения параметров такие же, как и в предыдущем примере, кроме =200 м. Тогда для дебитов получим следующие значения: и .

При изменении депрессий в пределах погрешности манометра (порядка 1%) МПа, МПа соответствующие дебиты равны =3890м³/сут и м³/сут.

Таким образом, малая ошибка в одном коэффициенте привела к большим ошибкам в определении и :

,

.

Данный пример показывает, что рассматриваемая расчетная схема в ряде случаев может оказаться некорректной.