6. Системы линейных уравнений. Общие понятия.

Определители и матрицы широко применяются при решении систем линейных уравнений, т.е. систем, содержащих m уравнений первой степени относительно n неизвестных x₁, x₂,…, x_n.

В наиболее общем виде такие системы записываются в форме

(18)

Числа называются коэффициентами системы или коэффициентами при неизвестных.

Первый индекс у коэффициентов системы указывает на номер уравнения, второй – на номер неизвестного, при котором записан этот коэффициент. Числа называются свободными членами. Если все свободные члены равны нулю, то система называется однородной, если же, хотя бы одно из них отлично от нуля, то неоднородной.

Решением системы (18) называется любая совокупность чисел , подстановка которой в (18) обращает каждое уравнение этой системы в верное числовое равенство.

Система, имеющая хотя бы одно решение, называется совместной, имеющая только одно решение определенной, имеющая более одного решения – неопределенной, не имеющая ни одного решения – несовместной.

Решить систему (18) – это значит указать все множество ее решений или доказать ее несовместность.

Две системы линейных уравнений называются равносильными, если каждое решение второй системы является решением первой и наоборот.

Доказано, что если над системой (18) выполнить преобразования:

1. переменить местами уравнения;

2. умножить обе части любого уравнения системы на любое не равное нулю число;

3. прибавить к обеим частям одного из уравнений системы соответствующие части другого уравнения, умноженные на любое действительное число, то система (18) переходит в равносильную ей систему. Перечисленные выше преобразования называются элементарными преобразованиями системы. В результате элементарного преобразования может случится, что в системе появится уравнение, все коэффициенты которого равны нулю. Тогда, если и свободный член этого уравнения равен нулю, то уравнение справедливо при любых и, следовательно, его можно отбросить. Если же свободный член не равен нулю, то это уравнение не удовлетворяется никакими значениями неизвестных, следовательно, полученная система является несовместной. Тогда несовместна и исходная система.

Рассмотрим методы решений систем линейных уравнений.

6. Система n линейных уравнений с n неизвестными и ее решение матричным способом. Формулы крамера.

Пусть задана система линейных уравнений, содержащая одинаковое число уравнений и неизвестных (m=n):

(19)

Введем три матрицы

, , .

Матрица А, составленная из коэффициентов системы, является квадратной матрицей порядка n. Матрицы Х и В являются столбцовыми и составлены соответственно из неизвестных и свободных членов системы.

Так как число столбцов матрицы А равно числу строк матрицы Х, то существует произведение , являющееся столбцовой матрицей тех же размеров, что и матрица В. Тогда систему уравнений (19) можно записать в форме одного матричного уравнения.

. (20)

Для определения матрицы Х из (20) допустим, что матрица А имеет обратную матрицу А^-1, определяемую формулой (17). Тогда, умножая обе части (20) слева А^-1, получим

. (21)

По определению обратной матрицы , где Е – единичная матрица порядка n. Отсюда .

Следовательно, уравнение (21) запишется в виде

. (22)

Матричное равенство (22) определяет решение заданной системы уравнений в матричной форме. Для определения конкретных значений неизвестных перепишем (22) в виде

, (23)

где - определитель, соответствующий матрице А;

- алгебраические дополнения элементов этой матрицы.

Перемножив матрицы в правой части (23), найдем

.

Отсюда, согласно условию равенства двух матриц, получим

, , …,

…, . (24)

Формулы (24) и определяют решение системы (19). Для запоминания этих формул и последующего их применения на практике группу определителей:

, ,

, …, .

Заметим, что определитель , получен из Δ заменой его первого столбца на столбец сводных членов, определитель , получен из Δ заменой его второго столбца на столбец свободных членов и т.д. Разложим каждый из определителей по столбцу членов . Тогда

, , …,

. (25)

Из сравнения полученных результатов (25) с числителями равенств (24) следует, что решение системы (19) можно записать в виде

. (26)

Формулы (26) называются формулами Крамера.

ПРИМЕР 8.1. Решить по формулам Крамера систему уравнений

Решение. Система содержит одинаковое число уравнений и неизвестных. Вычислим определитель Δ этой системы.

.

Так как , то решение можно найти по формулам Крамера:

, . Тогда

, . Ответ: (1;2).

ПРИМЕР 8.2. Решить матричным способом систему уравнений

Система содержит одинаковое число уравнений и неизвестных. Вычислим определитель Δ этой системы:

.

Так как , то система может быть решена матричным способом.

Составим матрицы , , .

Так как определитель системы , то матрица А имеет обратную матрицу А^-1, где

.

Вычислим алгебраические дополнения всех элементов

3, , ,

, , ,

, , .

Тогда .

Так как решением является , то

.

Или x₁=1, x₂=1, x₃=1. Ответ: .