Эллиптический параболоид.
Пусть задано
уравнение
,
где
, (55)
Являющееся частным случаем уравнения (51). Изучим вид поверхности, соответствующий уравнению (55), методом сечений.
Рассмотрим сечения поверхности горизонтальными плоскостями , где . В сечении, в общем случае, получим линию:
(1)
Так как по условию
и
,
то
при любых значениях
и
.
Следовательно, при
горизонтальные плоскости
не пересекают поверхность. При
,
т.е. на плоскости
,
получим точку
.
При
на плоскости
получим линию
, (2)
где
.
Уравнение (2) на
плоскости
определяет эллипс с полуосями
и
.
Следовательно, в сечениях горизонтальными
плоскостями
,
где
,
образуются эллипсы с полуосями
и
.
Заметим, что при увеличении
от 0 до
полуоси эллипса неограниченно
увеличиваются.
Рассмотрим сечение вертикальной плоскостью , где . В сечении получим линию:
(3)
Уравнение
на плоскости
определяет параболу с осью симметрии
,
параметром
и вершиной, нанаходящейся в точке
.
Следовательно, на плоскости
при любых занчениях
также получим параболу с параметром,
равным
,
вершина которой находится в точке
.
Заметим, что при увеличении
от 0 до
вершина параболы неограниченно
поднимается над плоскостью
.
Итак, в сечениях вертикальными плоскостями при любых значения образуются параболы.
Аналогичные параболы образуются в сечениях плоскостями (доказать самостоятельно).
Рис.33
Так как в сечениях вертикальными плоскостями и образуются параболы, а в сечениях горизонтальными плоскостями образуются эллипсы, то поверхность (рис.33), определяемая уравнением (55), названа эллиптическим параболоидом.
Заметим, что если
в уравнении (55)
,
то в сечениях горизонтальными плоскостями
образуются окружности. Следовательно,
уравнение
определяет парболоид вращения
с осью симметрии
.
Однополостный гиперболоид.
Однополостным гиперболоидом назвается поверхность, определяемая уравнением
(56)
В сечениях горизонтальными плоскостями , где , получим линии
,
где
.
Таким образом, в сечениях плоскостями образуются эллипсы с полуосями и . При увеличении от нуля до бесконечности полуоси эллипса неограниченно увеличиваются. Наименьшие полуоси, равные и , имеет эллипс, расположенный на плоскости .
Пусть , где . В сечениях образуются линии
(1)
Если
,
то
.
Тогда на плоскости
,
получим гиперболу
,
где
с действительной полуосью
и мнимой
.
Так как действительная полуось расположена на прямой, параллельной оси , а мнимая – параллельной оси , то гипербола (1) ориентирована вдоль оси .
Если
,
то
.
Тогда на плоскости
получим гиперболу
,
где
с действительной полуосью
и мнимой
.
Заметим, что действительная полуось расположена на прямой, параллельной оси , а мнимая – параллельной оси . Следовательно, гипербола (1) сменила свою ориентацию.
Если
,
то
.
Тогда из уравнений (1) получим
. (2)
Рис.34
Уравнения (2) определяют пару пересекающихся прямых.
Итак, в сечениях вертикальными плоскостями , где , образуются или гиперболы, изменяющий свою ориентацию, или пары пересекающихся прямых.
В сечениях
вертикальными плоскостями
,
где
,
образуются так же, как и в сечениях
,
либо гиперболы, либо пара пересекающихся
прямых (исследовать самостоятельно).
Полученные сечения позволяют построить
искомую поверхность (рис.34).