Цилиндрические поверхнсоти.
Поверхность,
образованная всеми прямыми, проходящими
параллельно данной прямой
через точки линии
,
называется цилиндрической
поверхностью (рис.29).
Рис.29
При этом линия называется направляющей, а прямые, проходящие через точки кривой параллельно прямой , называются ее образующими.
Пусть на плоскости
дана своим уравнением
некоторая линия
(рис.30).
Рис.30
Проведем через каждую точку кривой прямую параллельно оси . Тогда получим цилиндрическую поверхность с образующими, парллельными этой оси. Докажем, что уравнение
(53)
будет уравнением этой плоскости.
Выберем на кривой
произвольную точку
и проведем через нее образующую парллельно
оси
.
Выберем на этой образующей произвольную
точку
(рис.30). Тогда точки
и
будут иметь одни и те же координтаы
и
.
Следовательно, уравнению (53), не содержащему
переменную
,
будут удовлетворять координаты обеих
точек. А это значит, что уравнение
,
не содержащее переменной
,
является уравнением цилиндрической
поверхности с образующими, параллельными
оси
.
Аналогично доказывается, что уравнения
и
,
не содержащие переменные
и
соответственно, определяют цилиндрические
поверхности с образующими, парллельными
осям
и
соответственно. Следовательно, и
алгебраичесике уравнения (51), не содержащие
по одной из переменных, определяют
цилиндрические поверхности, образующие
которых направлены вдоль соответстующих
осей координат. Например, уравнение
в пространстве трех переменных определяет
круговой цилиндр с образующими,
парллельными оси
.
Рис.31
Заметим, что
название цилиндрической поверхности
определяется названием направляющей.
Например, если направляющая
дана уравнением
,
то кривая
является параболой с осью симметрии
.
Тогда это же уравнение в пространстве
определяет параболический цилиндр с
образующими, парллельными оси
(рис.31).
Аналогично уравнение
определяет эллиптический цилиндр с
образующими, параллельными оси
,
а уравнение
определяет гиперболический цилиндр с
образующими, параллельными оси
.
Эллипсоид.
Одним из основных методов изучения поверхности, заданной своим уравнением, является метод сечений. В этом методе предлагается определять вид поверхности по ее линиям пересечения с различными плоскостями. Рассмотрим подробнее сущность этого приема исследования поверхности на примере уравнения
,
(54)
где
положительные действительные числа.
Рассмотрим вначале
линии пересечения этой поверхности с
горизонтальными плоскостями
,
где
.
В сечении, в общем случае, образуется
кривая, определяемая уравнениями
. (1)
Заметим, что
при любых значениях
и
.
Следовательно, если
,
т.е.
,
то первое уравнение не выполняется ни
при каких значениях
и
.
Это значит, что горизонтальные плоскости
,
где
,
не пересекают данной поверхности (в
сечении образуются мнимые кривые).
Если
,
то
и перове уравнение из (1) справедливо
только при
.
Следовательно, в сечениях
и
получим точки
и
.
Наконец, если
,
то
.
Тогда в сечении горизонтальной плоскостью
,
где
,
получим линию
, (2)
где
.
Уравнение (2) на
плоскости
опеделяет эллипс с полуосями
и
.
Следовательно, на горизонтальной
плоскости
,
где
получим эллипс с теми же полуосями.
Заметим, что наибольшие полуоси, равные
и
,
образуются при
.
При увеличении
от нуля до
полуоси эллипса уменьшаются до нулевых
размеров.
Итак, в сечениях горизонтальными плоскостями при образуются эллипсы, при эллипсы вырождаются в точки и , при плоскости не пересекают поверхность.
Рис.32
Так как уравнение
(54) обладает симметрией относительно
переменных
и
,
то в сечениях вертикальными плоскостями
,
где
,
и
,
где
,
так же образуются эллипсы или точки.
В остальных случаях вертикальные плоскости не пересекают поверхность.
Полученные сечения позволяют построить искомую поверхность (рис.32), называемую эллипсоидом.
Заметим, что
эллипсоид при
превращается в сферу.