6. Прямая и плоскость в пространстве .

Пусть дана в пространстве даны своими уравнениями прямая и плоскость :

, .

Для определения взаимного расположения прямой и плоскости в пространстве достаточно установить, параллельна ли прямая плоскости или нет. Если нет, то в какой точке ее пересекает и под каким углом.

Угол между прмой и плоскостью.

Рис.27

Под углом прямой и плоскостью понимают любой из двух смежных углов, образованных прямой и ее проекцией на плоскость (рис.27). Обозначим один из смежных углов между прямой и ее проекцией на плоскость через , а угол между нормальным вектором плоскости и направляющим вектором прямой через . Тогда либо , либо . Отсюда или . Следовательно, . Тогда в координатной форме:

. (48)

Частные случаи. Если прямая перпендикулярна плоскости , то векторы и коллинеарны. Тогда

. (49)

Если же , то . Следовательно, и . Тогда

. (50)

Условия (49) и (50) называются соттветственно условиями перпендикулярности и параллельности.

Точка пересечения прямой с плоскостью.

Пусть прямая пересекает плоскость в некоторой точке . Тогда для определения координат этой точки достаточно решить систему уравнений

(1)

Проще всего решить эту систему, переходя от канонической формы задания уравнения прямой к ее заданию в параметрической форме, т.е. к форме

(2)

где - параметр.

Подставляя вместо их выражения из (2) в первое уравнение системы (1) для определения значения параметра для точки пересечения, получим

. (3)

Так как по условию прямая переекает плоскость, то . Следовательно, значение параметра для точки пересечения найдется по формуле

. (4)

Подставляя найденное по (4) значение в каждое из уравнений (2), вычислим координаты искомой точки .

ПРИМЕР 24.1. Найти проекцию точки на плоскость .

Решение. Проведем через точку прямую перпендикулярно заданной плоскости (рис.28). Уравнения этой прямой будем искать в форме

. (5)

Из условия (49) перпендикулярности прямой и плоскости при получим, что . Тогда за проекции направляющего вектора прямой можно принять числа .

Рис.28

Подставляя их в уравнения (5), найдем уравнения перпендикулярна :

. (6)

Запишем уравнение прямой (6) в параметрической форме:

(7)

Вычислим значения параметра для точки пересечения прямой с плоскостю по формуле (4):

.

Подставляя значение в уравнение (7), найдем координаты искомой точки :

.

Ответ: .

6. Поверхности второго порядка.

В нижеследующих параграфах рассматриваются некоторые геометрические образы алгебраических уравнений второй степени относительно трех переменных:

, (51)

где - действительно числа, причем старшие коэффициенты не равны нулю одновременно.

Поверхность, определяемая уравнением (51), называется поверхностью второго порядка.

Пусть некоторая поверхность дана как множество точек пространства , обладающих определенным свойством, и требуется найти ее уравнение. Например, дана сфера как множество всех точек пространства , равноудаленных от заданной точки этого пространства.

Для вывода уравнения этой сферы в декартовой системе координат обозначим через координаты заданной точки (центр сферы), а через - координаты произвольной точки пространства .

Построим вектор и рассмотрим два слачая:

1. если точка принадлежит сфере, то , где - радиус сферы. Тогда

; (52)

2. если точка не принадлежит сфере, то . Следовательно, для таких не выполняется и уравнение (52).

Тогда из случаев 1) и 2) и определения (15.1) уравнения поверхности следует, что (52) является уравнением сферы радиуса с центром в точке .

Уравнение (52) является алгебраическим уравнением второй степени. Следовательно, сфера является представителем поверхностей второго порядка.