Угол между плоскостями.
Пусть в заданы своими уравнениями две плоскости
и
.
Коэффициенты
и
уравнения плоскости являются проекциями
нормального вектора
к этой плоскости. Следовательно, один
из смежных двугранных углов
между плоскостями
и
равен углу между нормальными к этим
плоскостям векторами:
и
(рис.23).
z
0
y
x
Тогда
. (37)
По формуле (37) определяется один из смежных углов между данными плоскостями.
Следствие 1.
Если плоскости
и
параллельны, то их нормальные векторы
и
коллинеарны. Тогда
. (38)
Условия (38) называются условиями параллельности двух плоскостей.
Следствие 2.
Если плоскости
и
перпендикулярны, то в (37) угол
.
Тогда
.
Следовательно, и
. (39)
Условие (39) называется условием перпендикулярности двух плоскостей.
ПРИМЕР 19.1. Определить,
при каком значении
плоскость
перпендикулярна плоскости
.
Решение. Векторы
являются нормальныи векторами к данным
плоскостям.тогда согласно условию (39)
плоскости взаимно перпендикулярны,
если
.
Ответ: 6.
ПРИМЕР 19.2. Составить
уравнение плоскости, которая проходит
через точку
параллельно плоскости
.
Решение. Искомая
плоскость проходит через заданную точку
,
тогда ее уравнение, согласно формуле
(34), запишется в виде
.
Искомая плоскость параллельна заданной плоскости. Тогда из условия параллельности двух плоскостей (38) получим
.
Отсюда
.
Подставляя найденные
коэффициенты
в предыдущее уравнение, найдем уравнение
искомой плоскости
.
20. Прямая в пространстве . Векторное, канонические и параметрические уравнения прямой.
Положение прямой в пространстве может быть определено заданием:
любых двух точек;
ее точки и вектора , параллельного этой прямой;
0
Поставим задачу определения уравнения прямой в каждом из этих случаев.
Пусть в пространстве
дана точка
и вектор
.
Тогда через точку
параллельно вектору
проходит единственная прямая
.
Для определения ее уравнения выберем
в
произвольную точку
и построим векторы
.
z
M0
M
0
y
x
Согласно определению суммы векторов получим
(рис.24).
Пусть точка
,
тогда векторы
и
коллинеарны. Следовательно,
,
где
- параметр, принимающий любое значение
из
в зависимости от положения точки
на прямой
.
Тогда для точки
имеем
,
где
. (40)
Если точка
,
то векторы
и
не коллинеарны.
Следовательно,
для таких точек равенство (40) не выполняется
ни при каких
.
Итак, уравнение (40) является векторным
уравнением прямой, а вектор
называется направляющим вектором
прямой. Воспользовавшись координатами
векторов
из (40), получим
(41)
Уравнения (41) называются параметрическими уравнениями прямой с параметром в пространстве .
Исключая параметр из уравнений (41), найдем, что
. (42)
Уравнения (42) называются каноническими уравнениями прямой в пространстве .
Замечание.
В уравнении (42) условились считать, что
числа
и
могут принимать любые значения, кроме
одновременного равенства
и
нулю. В частности, если уравнение (423)
имеет вид
,
о это уравнение есть уравнение прямой,
перпендикулярной оси
.
Действительно, при
направляющий вектор
перпендикулярен оси
.
Следовательно, и параллельная вектору
прямая перпендикулярна этой оси. Если
же уравнение (42) имеет вид
,то
это уравнение является уравнением
прямой, перпендикулярной плоскости .
ПРИМЕР 20.1. Определить,
лежит ли точка
на прямой
,
проходящей через точку
параллельно вектору
.
Решение. Найдем
уравнения прямой
в канонической форме. Полагая
,
получим
.
Подставляя в эти
уравнения координаты точки
,
найдем
.
Следовательно, точка принадлежит прямой .