Гипербола.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 10.1. Гиперболой называется множество всех точек плоскости, абсолютная величина разности расстояний каждой из которых от двух данных точек этой плоскости, называемых фокусами, есть величина постоянная. Выберем на плоскости две произвольные точки и и введем систему координат на этой плоскости так, как показано на рис.14. Обозначим через расстояние между точками и , тогда выбранные фокусы будут иметь координаты: , а .
Рис.14
Пусть точка
- произвольная точка плоскости
.
Предположим, что точка
принадлежит гиперболе. Тогда, если
,
где
,
есть абсолютная величина разности
расстояний от точки
до точек
и
,
то, по определению гиперболы,
.
Избавляясь от иррациональности, уравнений можно привести к виду
. (17)
По условию
.
Тогда
и
.
Обозначим через
разность
.
Подставляя это число в уравнение (17),
получим
,
где
. (18)
Пусть точка
не лежит на гиперболе. Тогда для такой
точки
.
Следовательно, координаты точки
не могут удовлетворять и уравнению
(18).
Итак, согласно определению 1.1 уравнения плоской кривой, уравнение (18) является уравнением искомой гиперболы. Оно называется каноническим уравнением гиперболы.
Определим форму
гиперболы. Так как переменные
и
входят в уравнение (18) только в четной
степени, то кривая симметрична относительно
осей координат. Следовательно, достаточно
определить ее форму только в первой
четверти. При
из (18) получим, что
.
Это значит, что кривая не имеет с осью
общих точек. При
значения
существуют, причем при увеличении
переменная
также возрастает и изменяется от 0 до
.
Покажем, что часть
гиперболы, расположенная в 1 четверти,
имеет асимптоту – прямую
.
Из уравнения (18) найдем, что
.
Рассмотрим разность между ординатами
прямой и гиперболы при одном и том же
значении
(рис.15). Имеем
(19)
Рис.15
Из (19) следует, что
при увеличении
разность между
и
стремится к нулю. Следовательно, стремится
к нулю и расстояние между точками прямой
и гиперболы. Тогда прямая
является асимптотой гиперболы. Для
построения этой асимптоты достаточно
построить точку с координатами
и провести прямую, проходящую через эту
точку и начало координат (рис.15).
Итак, для построения формы гиперболы в 1 четверти построи предварительно ее асимптоту и проведем искомую линию (рис.15). Из условий симметрии гиперболы построим кривую в оставшихся четвертях (рис.15).
Терминологиия.
Точки
,
а
называются фокусами
гиперболы.
Точки
называются действительными
вершинами гиперболы,
а точки
- мнимыми
вершинами.
Точка
называется центром
гиперболы.
Ось, на которой расположены фокусы,
называется фокальной
осью
или действительной
осью.
Ось, на которой расположены мнимые
вершины гиперболы, называется мнимой
осью.
Отрезок
длины
называется фокусным
расстоянием.
Отрезок
длины
называется действительной
осью гиперболы
(название совпадает с названием самой
оси). Отрезок
длины
называется мнимой
осью.
Отрезки
,
;
,
называются соответственно действительными
и мнимыми полуосями гиперболы.
Число
- называется эксцентриситетом
гиперболы.
По определению гиперболы
.
Следовательно,
.
Эксцентриситет гиперболы характеризует
ее форму. Действительно, из (18) следует,
что
.
Тогда, чем меньше
,
тем меньше число
по сравнению с числом
,
т.е. точки гиперболы приближаются к оси
.
Прямоугольник,
изображенный на рис.15 пунктирной линией,
со сторонами длины
и
,
называется основным прямоугольником.
С его помощью легко строятся две асимптоты
гиперболы
и
,
являющиеся диагоналями этого
прямоугольника.
Частный случай.
При
гипербола называется равносторонней
(равнобочной). Для равнобочной гиперболы
из (18) найдем, что
,
а асимптотами будут биссектрисы
координатных углов:
и
.
Эксцентриситетом равнобочной гиперболы
.
ПРИМЕР 10.1. Дана
гипербола
.
Найти: 1) полуоси
и
;
2) фокусы; 3) эксцентриситет; 4) уравнение
асимптот.
Решение. Разделив
обе части данного уравнения гиперболы
на 144, найдем канонческое уравнение
. отсюда
.
Следовательно,
.
Тогда
.
Или
.
Фокусы гиперболы располагаются в точках
.
Эксцентриситет
.
Асимптотами являются прямые
.