Пусть прямые и даны уравнениями и . Требуется определить угол между ними. Предположим, что прямые не перпендикулярны и вычислим . Непосредственно из рис.9 найдем, что . Тогда

. Но .

Следовательно, . (8)

Итак, если угол отсчитывается от прямой к прямой и , то угол между прямыми может быть найден с помощью формулы (8).

Заметим, что если , то . Тогда .

Следовательно, . (9)

Обратно, если , то  .

Таким образом, равенство (9) является необходимым и достаточным условием параллельности двух прямых.

Пусть  , тогда формула (8) теряет свой смысл. Но в этом случае и . Тогда .

Следовательно,

или . (10)

Нетрудно проверить, что из следует, что  . Условие (10) является условием перпендикулярности двух прямых.

ПРИМЕР 6.1. Найти проекцию точки на прямую .

На плоскости проведем прямую и построим точку . Обозначим через проекцию точки на прямую (рис.10).

Уравнение прямой будем искать в форме уравнения прямой по точке и угловому коэффициенту, т.е. в форме . Подставляя значения , получим . Прямые и перпендикулярны. Тогда согласно формуле (10) . Но , тогда . Следовательно, уравнения запишется в виде или .

Точка принадлежит обеим прямым и . Следовательно, ее координаты удовлетворяют уравнениям обеих прямых. Тогда координаты точки найдутся из системы

Ответ: .

8. Общее уравнение прямой.

Как уже известно, уравнение , - действительные числа, является общим алгебраическим уравнением первой степени относительно двух переменных и . Установленные ранее формы уравнения прямой являются также алгебраическими уравнениями первой степени относительно и и при помощи простейших действий могут быть приведены к форме

. (11)

Покажем, что уравнение при любых , кроме , определяет прямую на координатной плоскости . Действительно, полагая одно из чисел или , например, , неравным нулю, получим

.

Сравнивая это уравнение с уравнением , найдем, что оно есть уравнение прямой, проходящей через точку перпендикулярно вектору . Следовательно, и уравнение есть уравнение прямой.

Уравнение (11)называется общим уравнением прямой.

Частные случаи:

1. если , то . Это есть уравнение прямой, проходящей через начало координат;

2. если , , то есть уравнение прямой, параллельной оси ;

3. если , то . Это уравнение прямой, параллельной оси . В частности, при получим -уравнение оси .

ПРИМЕР 7.1. Дана прямая . Составить уравнение прямой, проходящей через точку параллельно данной прямой.

Решение. Так как , то . Сравнивая полученное уравнение с уравнением , получим, что .

Искомая прямая должна быть параллельна данной прямой. Следовательно, согласно формуле (9) ее угловой коэффициент . Итак, для искомой прямой известна ее точка и угловой коэффициент . Тогда ее уравнение найдем по формуле (6)

.

Заметим попутно, что коэффициенты у искомой и данной прямых оказались равными. Этт факт не случаен (доказать самостоятельно).

Ответ: .

ВЫВОД. Заканчивая изложение вопроса о прямой линии на плоскости, еще раз отметим, что всякое алгебраическое уравнение первой степени относительно двух переменных и , т.е. уравнение вида , есть уравнение прямой линии на плоскости . И наоборот, уравнение любой прямой на этой плоскости является алгебраическим уравнением вида .