6. Пройстейшие задачи аналитической геометрии.

Под простейшими задачами аналитической геометрии понимаются задачи определения расстояния между двумя точками и деления некоторого отрезка в данном отношении.

Задачи определения расстояния между двумя точками.

П усть в пространстве заданы своими координатами две точки и . Построим векторы (рис.19).

z

M₁

M₂

0

y

x

Тогда

.

Согласно правилу (48)

.

Так как длина вектора равна расстоянию между точками и , то искомое расстояние найдется по формуле (43). Итак,

. (51)

Заметим, что в процессе решения этой задачи установлена формула определения вектора, если заданы координаты его начальной и конечной точек:

. (52)

Задача деления отрезка в данном отношении.

Пусть даны две точки и . Требуется на прямой (рис.20) найти точку , которая разделила бы отрезок в заданном отношении , т.е. так, что . Согласно формуле (52)

,

.

Тогда по правилу (49) равенство примет вид , , .

Определяя из этих равенств, получим

, , , (53)

где , .

z

M₁

M₀

M₂

0

y

x

Формулы (53) являются формулами деления отрезка в данном отношении. В частности, при получим формулы деления отрезка пополам:

, , . (54)

ПРИМЕР 17.1. Вершина треугольника имеет координаты . Найти длину медианы этого треугольника.

Решение. Точка делит отрезок пополам. Тогда, согласно (53), получим

, , .

Искомое расстояние найдем по формуле (51):

.

6. Скалярное произведение векторов.

Пусть даны два вектора и . В векторной алгебре рассматриваются два вида умножения векторов: скалярное, результатом которого является число, и векторное, результатом которого является вектор.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Скалярным произведением векторов и называется число, равное произведению модулей перемножаемых векторов на косинус угла между ними (рис.21). Скалярное произведение обозначается символом . Итак, .

Так как , , то

. (56)

Из (56) следует, что скалярное произведение векторов и равно модулю одного из векторов, умноженному на проекцию другого на направление первого вектора.

Свойства скалярного произведения векторов.

1) ;

2) , если  или хотя бы один из векторов есть нулевой вектор (справедливо и обратное утверждение);

3) ;

4) для  ;

5) .

Справедливость первых четырех свойств непосредственно следует из определения скалярного произведения. Докажем справедливость распределительного свойства 5. согласно формуле (56) и теореме 13.2 о проекции имеем .

Пусть векторы и заданы своими координатами , .

Найдем скалярное произведение . Вычислим предварительно скалярные произведения единичных векторов.

Имеем , , . Векторы взаимно перпендикулярны. Тогда, согласно свойству 2, их произведения друг на друга равны нулю.

Используя распределительный закон скалярного произведения, получим

Итак, если векторы и заданы своими координатами, то

(57)

Следствие 1. Если ^ , то или

. (58)

Условие (58) называется условием перпендикулярности двух векторов.

Следствие 2. Так как , то

. (59)

ПРИМЕР 18.1. Вычислить работу по перемещению материальной точки вдоль отрезка из точки в точку под действием постоянной по величине и направлению силы .

Решение. Из курса физики известно, что работа , совершаемая при указанных в примере условиях, находится по формуле . Так как , то

.

Ответ: 5.

П

B

РИМЕР 18.2. Даны вершины треугольника и . Определить внутренний угол треугольника при вершине (рис.22).

A

C

Решение. Построим векторы и . Имеем . Тогда

^ .

Ответ: .

Из приведенных примеров следует, что скалярное произведение векторов широко применяются в геометрии при поиске углов, в физике – при определении работы.