I. Алгебра.

1. Матрицы и их виды.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.1. Прямоугольная таблица, составленная из чисел, называется матрицей. Для обозначения матрицы применяются круглые скобки и прописные буквы А, В, С…

Например, (1)

есть общий вид записи матрицы из чисел.

Числа а₁₁, а₁₂, …, а_mn, составляющие матрицу, называются ее элементами.

Горизонтальные ряды матрицы называются строками матрицы, вертикальные – столбцами.

Индексы i и j у элемента a_ij, где , означают, что этот элемент расположен в i-й строке и j-м столбце.

Например, элемент а₂₃ расположен во второй строке и в третьем столбце.

Числа m и n, указывающие количество строк и столбцов матрицы, называются размерами матрицы.

Наряду с обозначением (1) матрица обозначается также в форме

где (2)

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.2. Матрица, у которой число строк равно числу ее столбцов, называется квадратной матрицей. При этом число ее строк (столбцов) называется порядком матрицы.

Например, матрица есть квадратная матрица третьего порядка.

Квадратная матрица n-го порядка записывается в виде

(3)

В квадратной матрице (3) числа а₁₁, а₂₂,…,а_nn образуют главную диагональ матрицы, а числа а_т1, а_(n-1)2,…, а_1n-побочную диагональ.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.3. Квадратная матрица, у которой все числа, не стоящие на главной диагонали, равны нулю, называется диагональной матрицей.

Например, матрица есть диагональная матрица второго порядка.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.4. Диагональная матрица, у которой все элементы главной диагонали равны единице, называется единичной матрицей. Единичную матрицу обозначают прописной буквой Е.

Например, матрица есть единичная матрица второго порядка.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.5. Матрица, состоящая только из одной строки, называется матрицей-строкой, состоящая только из одного столбца, - матрицей-столбцом.

Например, матрица А=(2 0 5 4) есть матрица-строка.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.6. Матрица А^Т называется транспонированной по отношению к матрице А, если столбцы (строки) матрицы А являются соответствующими строчками (столбцами) матрицы А^Т.

Например, если матрица А равна , то .

2. Операции над матрицами.

2.1. Равенство матриц.

Две матрицы А и В называются равными (А=В), если они имеют одинаковые размеры и их соответствующие элементы равны.

Например, если

, и А=В, то b₁₁=1, b₁₂=2, b₂₁=3, b₂₂=4.

2.2. Сложение матриц.

Пусть даны матрицы А=(a_ij) и В=(b_ij), имеющие одинаковые размеры .

Суммой матриц А и В называется матрица С=А+В тех же размеров , что и заданные матрицы, элементы которой с_ij определяются правилом c_ij=a_ij+b_ij для всех i=1,2,…,m, j=1,2,…,n.

Например, если , , то .

Нетрудно проверить, что сума матриц подчиняется переместительному и сочетательному законам, т.е. А+В=В+А и (А+В)+С=А+(В+С).

2.3. Умножение матрицы на число.

Произведением матрицы А=(а_ij) размеров на число  называется матрица В=(b_ij) тех же размеров, что и матрица А, элементы, которой определяются правилом для всех

Например, если и , то .

Умножение матрицы на число подчиняется закону , где  и  - числа.