Метод оберненої матриці

Систему лінійних алгебраїчних рівнянь AX = B помножимо зліва на матрицю, зворотну до А. Система рівнянь прийме вигляд:

A^-1AX=A^-1b,  EX=A^-1b, (E - одинична матриця)

Таким чином, вектор невідомих обчислюється за формулою X = A ^-1 b.

Метод Крамера

В цьому випадку невідомі х _1, х _{2, ...,} х _п обчислюються за формулою:

де

- Визначник матриці,

- Визначник матриці, одержуваної з матриці А шляхом заміни i-го стовпця вектором b.

Зверніть увагу на особливість роботи з матричними формулами: необхідно попередньо виділяти область, в якій буде зберігатися результат, а після отримання результату перетворювати його до матричному виду, натиснувши клавіші F2 і Ctrl + Shift + Enter.

Метод Гауса

Одним з найпоширеніших методів рішення систем лінійних рівнянь є метод Гауса, на основі якого побудовано багато інших методів.

Обчислення за допомогою цього методу полягають у послідовному виключенні невідомих із системи рівнянь та перетворення її до еквівалентної системи з верхньою трикутною матрицею (до ступінчастого вигляду). З отриманої трикутної системи змінні знаходять за допомогою послідовних підстановок (на етапі зворотного ходу) .

Розглянемо метод послідовного виключення невідомих на прикладі системи m лінійних рівнянь з n невідомими:

, (1)

де - невідомі, - коефіцієнти системи, - вільні члени.

Зауваження. На практиці зручно використовувати розширену матрицю системи:

, яку за допомогою елементарних перетворень приводять до трикутного вигляду.

При складанні програм мовою програмування метод Гауса реалізують за такими алгоритмами (схемами).

Метод Гауса за схемою єдиного поділу.

Прямий хід (перетворення матриці до трикутного виду) складається з n-1 кроків виключення.

1-й крок. Метою цього кроку є виключення невідомого з рівнянь з номерами i= 2, 3, ..., n. Припустимо, що коефіцієнт .

Знайдемо величини , віднімемо послідовно з другого, третього, ..., n-го рівнянь системи перше рівняння, помножене відповідно на . Це дозволить перетворити на нуль коефіцієнти при у всіх рівняннях системи, крім першого. В результаті отримаємо еквівалентну систему, в якій та обчислюються за формулами

2-й крок. Метою цього кроку є виключення невідомого з рівнянь з номерами i = 3, 4, ..., n. Нехай . Обчислимо множники 2-го кроку і віднімемо послідовно з третього, четвертого, ..., n-го рівняння системи друге рівняння, помножене відповідно на . В результаті отримаємо систему, коефіцієнти та якої обчислюються за формулами

Аналогічно виконуються інші кроки.

Зворотний хід (підстановка та отримання коренів). З останнього рівняння системи знаходимо . Підставляємо знайдене значення x_n в передостаннє рівняння отриманої системи, одержимо . Здійснюємо зворотну підстановку, далі послідовно знаходимо . Обчислювання невідомих тут виконують за формулами:

Якщо виявляється, що один з елементів, утворених на головній діагоналі основної матриці системи дорівнює або близький до нуля, то схема єдиного поділу не може бути реалізована.

Метод Гаусса з вибором головного елемента по всій матриці (схема повного вибору). У цій схемі допускається порушення природного порядку виключення невідомих.

На 1-му кроці методу серед елементів a_ij визначають максимальний по модулю елемент a_i1j1. Перше рівняння системи та рівняння з номером i₁ міняють місцями. Далі стандартним чином виробляють виключення невідомого x_i1з усіх рівнянь, крім першого.

На k-му кроці методу серед коефіцієнтів a_ij^(k–1) при невідомих у рівняннях системи з номерами i = k, ..., n вибирають максимальний по модулю коефіцієнт a_ikjk^(k-1). Потім k-е рівняння і рівняння, що містить знайдений коефіцієнт, міняють місцями і виключають невідоме x_jk з рівнянь з номерами i = k + 1, ..., n.

На етапі зворотного ходу невідомі обчислюють у наступному порядку: x_jn, x_jn–1, …, x_j1.