3. Метод трапецій
У методі трапецій
підінтегральну функцію
на проміжку
замінюють лінійною функцією, графік
якої – пряма, що проходить через точки
і
.
Таким чином,
при побудові формул чисельного
інтегрування, виконують лінійну
інтерполяцію функції
.
Площу криволінійної трапеції замінюють
площею трапеції
з основами
і висотою
.
Тоді
Якщо
відрізки
однакові:
,
то інтеграл
Рисунок 7.2 − Геометрична інтерпретація методу трапецій
Похибка методу трапецій
де
.
(7.4)
Якщо порівняти (7.2) з (7.4), то можна зауважити, що похибка методу трапецій удвічі більша, ніж методу прямокутників. Для практичної оцінки похибки можна використати співвідношення (7.4). Формула трапецій є точною для многочленів першого степеня.
Приклад
1.
Обчислимо
інтеграл
,
використовуючи
формулу трапецій при
Розв’язання. Відшукуємо точки поділу відрізка і значення функції в точках поділу. Отримані дані записано в таблиці 7.1. Враховуючи це, отримаємо
Оцінимо похибку обчислення за (7.4):
Отже,
З використанням формули трапецій отримуємо два правильні знаки після коми, враховуючи, що точне значення інтеграла І = 1,2190.
4. Метод Сімпсона (парабол)
У цьому
методі підінтегральну функцію
на
проміжку
замінюють квадратичною параболою,
графік якої – парабола, що проходить
через точки
і
,
тобто виконують квадратичну інтерполяцію
функції
.
Рисунок 7.3 − Геометрична інтерпретація методу Сімпсона
Застосуємо інтерполяційний многочлен Лагранжа для побудови рівняння параболи, що проходить через ці точки:
Тоді
Розділимо
інтервал
на
парну кількість
однакових
відрізків
,
і позначимо
.
Тоді наближене значення інтеграла
.
(7.5)
Похибка методу Сімпсона
де
(7.6)
Формула Сімпсона є точною для многочленів не вище третього степеня.
Практичну
оцінку похибки можна одержати за правилом
Рунге, виконавши обчислення з кроком
і
.
З (7.6) випливає, що похибка зміниться в
16 разів, тобто
.
Тоді
,
звідки
.
Приклад
1.
Обчислити
за формулою Сімпсона інтеграл
при
.
Розв'язання. Обчислюємо з шістьма знаками після коми. Оцінимо похибку результату за правилом Рунге. Порівняємо результат з точним значенням інтеграла. Значення підінтегральної функції в окремих точках проміжку запишемо в таблицю 7.2.
Таблиця 7.2 − Значення
|
|
при
|
при
|
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
0,125 |
0,984625 |
|
2 |
0,25 |
0,941176 |
0,941176 |
3 |
0,375 |
0,876712 |
|
4 |
0,5 |
0,800000 |
0,800000 |
5 |
0,625 |
0,719101 |
|
6 |
0,75 |
0,640000 |
0,640000 |
7 |
0,875 |
0,566389 |
|
8 |
1,0 |
0,500000 |
0,500000 |
За
формулою Сімпсона отримаємо для
Для
Похибка
обчислень
.
Отже, всі п’ять знаків обчисленого інтеграла повинні бути правильними. Знайдемо точне значення інтеграла
що
підтверджує отриманий за формулою
Сімпсона результат.
Приклад
2.
Обчислити
за формулою Сімпсона інтеграл
при
.
Розв'язання.
Обчислення
ведемо з п'ятьма
знаками після коми. Порівняємо результат
з точним значенням інтеграла
.
Значення підінтегральної функції в
окремих точках проміжку запишемо в
таблицю 7.3.
Таблиця 7.3 − Значення
|
|
при
|
0 |
0 |
1 |
1 |
0,1 |
0,90909 |
2 |
0,2 |
0,83333 |
3 |
0,3 |
0,76923 |
4 |
0,4 |
0,71429 |
5 |
0,5 |
0,66667 |
6 |
0,6 |
0,62500 |
7 |
0,7 |
0,58824 |
8 |
0,8 |
0,55556 |
9 |
0,9 |
0,52632 |
10 |
1,0 |
0,50000 |
За
формулою Сімпсона отримаємо для
Обчислимо
похибку результату. Повна похибка
складається із похибки дій
і похибки квадратурної формули (7.6):
.Оскільки
,
де
коефіцієнти формули Сімпсона, а
максимальна похибка округлення значень
підінтегральної функції, то
.
За формулою (7.6):
Відповідь:
