Апроксимація тригонометричними поліномами (гармонійний аналіз)

В випадку коли за допомогою попереднього аналізу результатів інженерного або наукового експерименту функція, яка досліджується, має періодичний характер, то для апроксимації таких функцій звичайно використовують ортогональні поліноми Фур’є, які мають вигляд:

         

          Рисунок 5.1 – Приклади експериментальних періодичних функцій

Розклад функцій в ряд Фур'є. Теорема Діріхлє

Багато задач науки і техніки зв'язані з періодичними функціями, які відображають циклічні процеси.

Функція f(x) називається періодичною з періодом T>0, якщо вона задовольняє рівності

         

З практичних міркувань такі функції зручно подати в вигляді тригонометричного поліному або його часткової суми з заданої обчислювальною похибкою . Поліном виду:

         

називається тригонометричним, причому a_n і b_n - дійсні числа, які не залежать від x.

Нехай цей ряд збігається для будь-якого x з інтервалу , тоді він визначає періодичну функцію f(x) з періодом .

Рядом Фур'є називається ряд, коефіцієнти якого обчислюються за наступними формулами:

     ,    

та якщо функція f(x) неперервна на відрізку [-,].

Розглянемо особливості використання ряду Фур'є для інженерних задач. При цьому виникають наступні питання:

1) Чи збігається ряд Фур'є функції f(x) ?

2) Якщо ряд збігається, то чи буде він мати своєю сумою f(x)?

Відповіді на поставлені питання дає теорема Діріхлє. Перше ніж сформулювати саму теорему, нагадаємо деякі поняття. Функція f(x) називається монотонною на інтервалі, якщо для будь-яких x₁ і x₂, які належать цьому інтервалу і таких, що x₁ < x₂, виконується лише одна з нерівностей f(x₁)f(x₂) або f(x₁)f(x₂). Функція f(x) називається кусково-монотонною на інтервалі, якщо його можна розбити на кінцеве число відкритих інтервалів, в кожному з яких функція монотонна.

         

         

Функція f(x) називається кусково-неперервною на інтервалі, якщо вона має на ньому кінцеве число точок розриву.

Позначимо через f(а + 0) границю функції f(x) коли х прямує до справа (права границя), відповідно, через f(а - 0) - ліва границя.

Теорема Діріхлє. Якщо функція f(x), яка задана в інтервалі [-, ], кусково-монотонна і кусково-неперервна, то ряд Фур'є цієї функції збігається на всьому інтервалі [-, ] і сума його дорівнює:

1. f(x) в усіх точках неперервності, які належать [-, ];

2. [ f(x - 0) +f(x + 0)] в усіх точках розриву, які належать інтервалу [-, ];

Тобто

Теорема Діріхлє не стверджує рівномірної збіжності ряду Фур'є до функції f(x). Однак якщо посилити властивості, яким повинна задовольняти функція, тобто вимагати від неї неперервності на всьому інтервалі [-, ], кускової монотонності на ньому і виконання рівності f(- ) = f ( ), то ряд Фур'є для такої функції буде рівномірно збігатися до функції f(x) на всьому інтервалі [-, ].

Можна показати, що для парної функції всі коефіцієнти b_n дорівнюють нулю, а відповідний ряд Фур'є не містить синусів:

     ,    )

     де     .    

Аналогічно для непарної функції всі коефіцієнти а_n дорівнюють нулю і відповідний ряд Фур'є не містить косинусів:

     ,     

     Де     .