Тема 5. Математична обробка результатів досліджень. Складання емпіричних формул – 2 год.

[1] Гл.4. п.4.1 С.193-195

http://posibnyky.vstu.vinnica.ua/met/lek6.htm#61aproksimacyyatablichnihfunkcyj

Інженеру звичайно приходиться працювати з великими масивами даних, тому методи обробки числових даних мають для нього особливе значення. Часто шляхом к правильному розумінню багатьох задач служить продумане уявлення початкових даних. До речі невдале уявлення експериментальних даних буває причиною помилок в розв’язанні складних задач.

Для того щоб отримати аналітичні залежності, що описують великі масиви даних, використовують методи апроксимації, які основані на тому, що масив даних замінюють простою функцією (лінійною або квадратичною або кубічною або іншою), яка не обов’язково проходить через всі експериментальні точки, але описує тенденції зміни цих даних та забезпечує мінімум суми квадратів відхилень експериментальних даних від цією функції.

Постановка задачі

Припустимо, що в результаті інженерного або наукового експерименту отримана система точок . Необхідно знайти аналітичну залежність , таку, яка найкращим чином описує задану систему точок. Поняття "найкращим чином" означає розв’язання задачі по заданому критерію. Найбільш відомим критерієм для задач апроксимації є критерій середньоквадратичних відхилень (СКВ), який являє собою мінімізацію суми квадратів відхилень експериментальних даних від аналітичної функції і визначається на заданій множині точок як

.

Однак при такій постановці задача апроксимації експериментальних даних має багато розв’язків. Для отримання єдиного розв’язку цієї задачі потрібно задавати значення певного вигляду, наприклад:

-степеневим поліномом

     ;     (5.1)

-тригонометричним поліномом

     ;     (5.2)

-ортогональним поліномом

     ;     (5.3)

-сплайн-функцією та інш.

Апроксимація узагальненими поліномами

Постановка задачі

Припустимо, що в результаті інженерного або наукового експерименту отримана система точок: . Необхідно знайти аналітичну функцію виду:

     ,

таку що середне квадратичне відхилення цієї функції від заданої системи точок буде мінімальним:

     ,

Розв’язання цієї задачі зводиться до знаходження коефіцієнтів аналітичної функції . Визначимо відхилення аналітичної функції від експериментальних даних в кожної i-ої точці :

         

З виразу видно, що залежит від коефіцієнтів , тобто є функцією багатьох параметрів. З відомо, що умовою оптимуму багатопараметричної функції є умова виду:

         

підставимо заміст отриманий вираз для всіх і визначимо частинні похідні по кожному коефіцієнту . В результаті отримуємо систему рівнянь виду:

         

Після спрощення та рокриття дужек в кожному рівнянні система буде мати вигляд:

         

В матричній формі система має вигляд:

    

Вибір системи функцій здійснюється з врахуванням наявності в експериментальних даних деяких тенденций, наприклад, періодичність експериментальних даних, або експоненціальний або логарифмічний характер їх зміни, властивості симетрії або наявність асимптотики.