3.2. Метод половинного поділу (бісекцій або діхотомії)

Нехай , причому неперервна на і <0. Знаходимо середину відрізка . Якщо , то − корінь (3.1). Якщо ні, то вибираємо ту із половин і , на кінцях якої має протилежні знаки. Отриманий відрізок розділимо навпіл точкою (рис. 2.2). Якщо , то . В іншому випадку вибираємо таку половину відрізка, на якій функція змінює знак, і його знову ділимо навпіл. На -му кроці маємо <0, Тоді корінь .

Процес поділу продовжуємо доти, доки довжина відрізка не стане меншою . Тоді координата середини отриманого відрізка буде значенням кореня з точністю .

Метод є простим, надійним і стійким до похибок округлення алгоритмом. Якщо корені не відокремлені, то таким способом можна знайти один із коренів (3.1.1).

Метод бісекцій збігається для будь-яких неперервних функцій, однак швидкість збіжності невелика. Кількість ітерацій, необхідних для досягнення точності , оцінюють співвідношенням

.

Метод половинного поділу доцільно використовувати для грубого знаходження кореня цього рівняння, тому що при збільшенні точності значно зростає обсяг обчислювальної роботи. Має лінійну збіжність. Неможливе узагальнення на системи нелінійних рівнянь.

Рисунок 3.1.2 − Геометрична інтерпретація методу половинного поділу

Приклад 1. Методом половинного поділу знайти корінь рівняння .

Відокремимо корені. Дійсні корені належать інтервалам . Для інтервалу (0;1) маємо:

Вибираємо , бо на кінцях інтервалу функція набирає різних знаків. Аналогічно попередньому отримаємо:

-0,58984375, 0,05102539,

-0,303939819, −0,135573387, −0,044614732, 0,00261235,

Відповідь:

Для інтервалу (-2;-1):

Відповідь:

Приклад 2. Знайти корінь рівняння методом половинного поділу з точністю

,тому

,тому .

Відповідь:

3.3. Метод січних (хорд, пропорційних частин)

Має більшу швидкість збігання, ніж метод половинного поділу. У методах типу Ньютона (дивись розділ 2.4) потрібно обчислювати похідну , що не завжди зручно. Якщо її замінити розділеною різницею першо­го порядку, обчисленою на двох останніх ітераціях

то отримаємо ітераційну формулу узагальненого методу хорд:

(3.1.3)

Геометрична інтерпретація методу: дотичну до точки замінює січна, проведена через точки і .

Метод хорд належить до так званих двокрокових: для знаход­ження -го наближення потрібно мати інформацію про два попередні наближення. Для запуску ітераційного процесу (3.1.3) перше наближення потрібно обчислити будь-яким однокроковим методом, або ж задати. Наближення х₂ і наступні обчислю­ють за формулою (3.1.3).

Метод хорд має дещо меншу швидкість збіжності, ніж метод Ньютона, однак у ньому не потрібно обчислювати на кожному кроці значення похідної . Збіжність методу хорд – лінійна порядку , але більш висока, ніж збіжність методу половинного поділу.

Якщо зафіксувати кінцеву точку відрізка, для якої виконується співвідношення (3.3) і позначити її через ,то отримаємо традиційну формулу методу хорд:

(3.1.4)

На рисунку 3.1.2 показано графічну інтерпретацію традиційного методу хорд.

Алгоритм методу. Нехай для визначеності < 0 і >0, де − відрізок, на якому відокремлений корінь . Тоді замість поділу відрізка навпіл, як це робиться у методі половинного поділу, більш доцільно буде розділити його у відношенні . Це дає приблизне значення кореня при

Застосовуючи цей прийом до того з відрізків або , на кінцях якого функція має протилежні знаки, отримаємо друге наближення кореня тощо.

Геометрично спосіб пропорційних частин (хорд) еквівалентний заміні кривої хордою, яка проходить через точки і . Величини … зображені на рис. 3.1.3.

Рисунок 3.1.3 − Графічна інтерпретація методу хорд

Аналізуючи розміщення кривих, отримаємо:

− нерухомою залишається та точка кривої, для якої знак функції збігається зі знаком її другої похідної ;

− послідовні наближення лежать по ту сторону кореня ,

де функція має знак, який протилежний знаку її другої похідної.

Для оцінки точності можна скористатися теоремою 5:

, де при .

Оцінка точності за двома значеннями наближень і така: , де − найменше (найбільше) значення модуля похідної на відрізку .

Приклад 1. Знайти додатний корінь рівняння методом хорд:

з точністю .

Відокремлюємо корені на відрізку

Оскільки і при маємо

, а на відрізку , то < < . Точне значення кореня .

Приклад 2. Знайти корінь рівняння методом хорд із точністю .

Відокремлюємо корінь на відрізку . Тоді:

Оскільки < , < , то .

Інколи користуватися методом хорд вигідніше, тому що в ньому необхідно обчислювати лише одне значення функції. Недоліком методу можна вважати наявність у знаменнику різниці функцій, яка може призвести до втрати значущих чисел в околі кореня («розхитування» розрахунку), а це обмежує точність знаходження кореня. Від «розхитування» захищаються за допомогою так званого прийому Гарвіка. Взявши не дуже мале , проводять розрахунки до виконання умови: , потім продовжують вести розрахунки до зменшення величини . Як тільки ця різниця почне збільшуватися, розрахунки припиняють і останню ітерацію не використовують, тобто за наближене значення кореня беруть .