Использование электронных таблиц
Напомним формулу интерполяционного многочлена Лагранжа:
Введем обозначения:
Пn+1(х) = (х-х0)(х-х1)...(х-хn);
Di = (хi – х1)(хi – х2)...(хi – хi-1)(хi – xi+1,)...(xi – хn),
тогда
По этой формуле удобно вычислять многочлен Лагранжа Ln(х) в таблице.
Пример 6. Пусть требуется вычислить значение многочлена Лагранжа Ln(x) в точке х.
Решение
Составим следующую таблицу
i |
xi |
Разности |
yi |
Di |
yi/Di |
|||||
0 |
x0 |
(x – x0) |
(x0 – x1) |
(x0 – x2) |
(x0 – x3) |
(x0 – x4) |
(x0 – x5) |
y0 |
|
|
1 |
x1 |
(x1 – x0) |
(x – x1) |
(x1 – x2) |
(x1 – x3) |
(x1 – x4) |
(x1 – x5) |
y1 |
|
|
2 |
x2 |
(x2 – x0) |
(x2 – x1) |
(x – x2) |
(x2 – x3) |
(x2 – x4) |
(x2 – x5) |
y2 |
|
|
3 |
x3 |
(x3 – x0) |
(x3 – x1) |
(x3 – x2) |
(x – x3) |
(x3 – x4) |
(x3 – x5) |
y3 |
|
|
4 |
x4 |
(x4 – x0) |
(x4 – x1) |
(x4 – x2) |
(x4 – x3) |
(x – x4) |
(x4 – x5) |
y4 |
|
|
5 |
x5 |
(x5 – x0) |
(x5 – x1) |
(x5 – x2) |
(x5 – x3) |
(x5 – x4) |
(x – x5) |
y5 |
|
|
Далее необходимо вычислить
П5+1(х) = (х – х0)(х – х1)(х – х2)(х – х3)(х – х4)(х – х5)
и сумму последнего столбца
. Тогда получаем
Пример 7. Найти приближенное значение функции при данном значении аргумента с помощью интерполяционного многочлена Лагранжа, если функция задана своей таблицей. Вы числить значение функции F(x) при х = 0,263.
x |
0,05 |
0,10 |
0,17 |
0,25 |
0,30 |
0,36 |
y |
0,050042 |
0,100335 |
0,171657 |
0,255342 |
0,309336 |
0,376403 |
Воспользовавшись формулой интерполяционного многочлена Лагранжа, составим таблицу разностей, где запись тЕ- b означает т * 10-b.
х= 0,263 |
||||||||||
i |
xi |
Разности |
уi |
Di |
yi/Di |
|||||
0 |
0,05 |
0,213 |
-0,05 |
-0,12 |
-0,2 |
-0,25 |
-0,31 |
0,050042 |
-2Е-05 |
-2526,21 |
1 |
0,10 |
0,05 |
0,163 |
-0,07 |
-0,15 |
-0,2 |
-0,26 |
0,100335 |
4,45Е-06 |
22547,7 |
2 |
0,17 |
0,12 |
0,07 |
0,093 |
-0,08 |
-0,13 |
-0,19 |
0,171657 |
-1,5Е-06 |
-111202 |
3 |
0,25 |
0,2 |
0,15 |
0,08 |
0,013 |
-0,05 |
-0,11 |
0,255342 |
1,2E-07 |
1488007 |
4 |
0,30 |
0,25 |
0,2 |
0,13 |
0,05 |
-0,037 |
-0,06 |
0,309336 |
7,21Е-07 |
428740,1 |
5 |
0,36 |
0,31 |
0,26 |
0,19 |
0,11 |
0,06 |
-0,097 |
0,376403 |
-9,8Е-06 |
-38392,7 |
Вычисляем:
П5+1(0,263) = (0,263 - х0)(0,263 – х1)(0,263 - х2)(0,263 – х3)*(0,263 - х4)(0,263 - х5) = 0,1506492 • 10 -6,
сумма последнего столбца отсюда
F(0,263)=
П 5+I(0,263)
= 0,1506492
• 10-6
• 1790173,8 = 0,269678.
Вычисления вручную довольно громоздки, но решение можно получить с помощью электронной таблицы.
|
А |
В |
С |
D |
Е |
F |
G |
H |
I |
J |
К |
1 |
0,263 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
i |
xi |
Разности |
уi |
Di |
yi/Di |
|||||
3 |
0 |
0,05 |
=$А$1 -SB3 |
=B3- SBS4 |
=B3- SBS5 |
=B3- $В$6 |
=ВЗ- SBS7 |
=ВЗ- SBS8 |
0,050042 |
=ПРОИЗВЕД (C3:H3) |
=I3/J3 |
4 |
1 |
0,1 |
=В4- $B$3 |
|
|
|
|
|
0,100335 |
|
|
5 |
2 |
0,17 |
|
|
|
|
|
|
0,171657 |
|
|
6 |
3 |
0,25 |
|
|
|
|
|
|
0,255342 |
|
|
7 |
4 |
0,3 |
|
|
|
|
|
|
0,309336 |
|
|
8 |
5 |
0,36 |
|
|
|
|
|
|
0,376403 |
|
|
9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
=ПРОИЗВЕД (C3,D4,E5, F6,G7,H8) |
|
СУММ (K3:K8) |
10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
=I9*K9 |
|
|
Заполняем таблицу по образцу. Затем копируем ячейку С4 в С5:С8, ячейку D3 — в D5:D8, ячейку ЕЗ — в Е4, Е6:Е8, ячейку F3 — в F4, F5, F7,F8, ячейку G3 - в G4:G6, G8, ячейку НЗ -I Н4:Н7, ячейку СЗ - в D4, Е5, F6, G7, Н8, ячейку J3 - в J4:J8, ячейку КЗ - в К4:К8.
В результате вычислений в ячейке I10 получаем значение многочлена Лагранжа.
В математике экстраполяция обозначает особый тип аппроксимации, при котором функция аппроксимируется не между заданными значениями, а вне заданного интервала.