5. Отображения (функции)

С понятием «функция»в некоторых частных случаях вы познакомились в школе. Приведем общее определение.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 7. Пусть A, B - множества. Отображением (функцией) f из A в B называется правило, которое каждому элементу множества A сопоставляет некоторый элемент множества B. Обозначение: . Если aA, то сопоставленный ему элемент обозначается f(a).

Примеры.

1. Функции x, sin x, x² отображают множество вещественных чисел в то же множество.

2. Функция , определенная правилом , где b – фиксированный элемент множества B это постоянная функция.

3. Тождественная функция , определенная по правилу Обозначение от слова «identification».

Введем важные понятия образа и прообраза множества при отображении.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 8. Образом множества A₁A при отображении называется множество .

Прообразом множества B₁B при отображении называется множество . Образом и прообразом пустого множества по определению являются пустые множества.

Примеры. Образом множества [1,1] при отображении x² является отрезок [0,1]. Прообраз одноэлементного множества {1} при этом отображении это двухэлементное множество {1,1}. Образом любого непустого множества при постоянном отображении из примера 2 является одноэлементное множество {b}. При отображении из примера 2 прообраз любого множества, содержащего элемент b, есть множество A; прообраз есть , если множество B₁ элемента b не содержит. Прообраз и образ любого множества при тождественном отображении совпадают с этим множеством.

Определим две операции над отображениями.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 9. Пусть и отображения. Их композицией (суперпозицией) называется отображение , определенное по правилу .

Говорить о коммутативности введенной операции не имеет смысла, поскольку в общем случае отображение не определено. Даже если отображение определено, то совпадать с оно не обязано. Например, если f=sin x, g=x², то . Это разные функции. Например, первая неотрицательная, вторая нет.

В то же время операция суперпозиции является ассоциативной. Если , , то отображения и совпадают (проверьте это!). Как обычно, ассоциативность позволяет опускать скобки!

Справедливы также очевидные свойства .

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 10. Отображение называется обратным к отображению , если .

Ранее символ использовался для обозначения прообраза множества. Из контекста обычно ясно, о чем идет речь: понятие прообраза применимо к множествам, а обратного отображения – к отдельным элементам.

Не всякое отображение имеет обратное. Проверьте, например, что не существует обратного отображение к x²:RR. Отображение, которое имеет обратное, называется обратимым.

ПРЕДЛОЖЕНИЕ. Если отображения и обратимы, то отображение также обратимое, причем .

Доказательство. Для доказательства достаточно проверить тождества из определения.

.

.

Здесь использована ассоциативность композиции и простые тождества, приведенные ранее. Это равенство имеет простую интерпретацию. Вы, когда одеваетесь, сначала надеваете пиджак, потом пальто. При раздевании последовательность действий противоположная.

Важную роль в дальнейшем играет один класс отображений.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 11. Отображение называется взаимно однозначным соответствием (биекцией), если

1. 

2. Из условия f(a₁)= f(a₂) следует, что a₁= a₂.

ПРЕДЛОЖЕНИЕ. Суперпозиция взаимно однозначных соответствий является взаимно однозначным соответствием.

Доказательство. Пусть , - взаимно однозначные соответствия.

1. в силу свойства 1 взаимно однозначных соответствий.

2. Пусть (a₁)= (a₂). Из условия и взаимной однозначности отображения следует, что , отсюда в силу взаимной однозначности отображения следует, что a₁= a₂, что и требовалось.

Существует тесная связь между обратимостью и взаимной однозначностью.

Теорема 4. Отображение является обратимым тогда и только тогда, когда оно является взаимно однозначным соответствием.

Доказательство. 1. Пусть отображение обратимо, т.е. существует обратное отображение . Пусть yB, . По определению обратного отображения, , т.е.

Отсюда поскольку y – произвольный элемент B, получаем: . Пусть теперь f(a₁)= f(a₂). Применим к обеим частям этого равенства обратное отображение . Тогда f(a₁))= f(a₂))= a₂. Тем самым отображение f является взаимно однозначным.

2. Пусть теперь отображение взаимно однозначное. Рассмотрим прообраз одноэлементного множества . В силу первого свойства взаимно однозначного отображения , в силу второго свойства это множество состоит из одного элемента. Положим , если (смысл символа в этих выражениях различен!). Проверьте, что это отображение является обратным к f.

Понятие обратной функции знакомо из школьного курса математики, однако, там изложение было несколько запутанным. Например, знаете ли вы, каковы обратные функции для функций sin x, x²:R R (R – множество вещественных чисел)? Многим ответ покажется странным: таких функций… не существует! Во-первых, значения этих функций не совпадают с множеством всех вещественных чисел (для sin x область значений [1,1], для x² – [0,)). Кроме того, (1)²=1²=1, sin 0=sin =0, т.е. значения этих функций в разных точках совпадают.

Что же тогда такое arcsin, например? Рассмотрим те же функции, но будем считать, что они заданы на меньших множествах:

.

Эти отображения являются взаимно однозначными, следовательно по доказанной теореме являются обратимыми. Обратные отображения обозначают arcsin x и . Проанализируйте самостоятельно функции cos, tg, ctg.

ПРЕДЛОЖЕНИЕ. Отображение, обратное к взаимно однозначному соответствию, также является взаимно однозначным соответствием.

Это фактически доказано при доказательстве предыдущей теоремы.