10. Производящие функции

По биному Ньютона (задача 1.5.7) коэффициентами многочлена являются величины .

1. Каков смысл коэффициентов при z^m многочленов

?

Ответ. В общем случае (для ) в коэффициенте при z^m (m =0,1,… , n) фактически перечисляются сочетания из n по m.

Таким образом, многочлен перечисляет сочетания, а их пересчитывает. Эти многочлены называются производящими функциями, называются энумераторами, а - денумераторами.

В общем случае производящей функцией последовательности называется формальный степенной ряд . Слово «формальный» означает, что нам ничего не известно о сходимости этого ряда.

2. Используя денумератор, найдите суммы

, ,

3. Найдите те же суммы, исходя из определения биномиальных коэффициентов.

4. Получите равенство из задачи 1.1.2, исходя из соотношения

.

5. Какой смысл имеет коэффициент при z^m в формальном произведении

?

Это произведение также называется энумератором.

6. (Продолжение) Какой смысл имеет коэффициент при z^m в формальном произведении ?

При |z|<1 справедливо равенство (сумма геометрической прогрессии). Отсюда, . Здесь ряд уже не формальный!

7. Разложите функцию в ряд Маклорена. Сравните результат с задачей 1.1.4.

8. В задачах «об обивке стульев» рассматривались крайние случаи: каждого рулона хватало для обивки либо одного стула, либо всех стульев. Сколькими способами можно обить одинаковые стулья, если каждого рулона хватает на обивку двух стульев? Выпишите для этого соответствующий денумератор.

9. А сколько будет способов, если каждого рулона хватает на обивку всех стульев, но красной тканью нужно обить четное (возможно нулевое) число стульев?

11. Использование рекуррентных соотношений

1. Пусть f(n.m) – число сочетаний с повторениями из n по m (задача 8.4). Проверьте, что

2. f(n.0)=1, f(n.1)=n, f(n.m)=f(n1.m)+f(n.m1) при 1≤m≤ n1.

3. Пусть A_n(z)= . Проверьте, что A_n(z)= A_n1(z)/(1z).

4. Получите формулу для A_n(z), не содержащую A_i(z) при i<z. Сравните с задачей 1.1.6.

5. Числа Фибоначчи определяются следующим образом. B₀= B₁=1, B_n= B_n1+ B_n2 при n=2,3,…. (Фибоначчи – псевдоним итальянского купца 12 века Леонардо Пизанского, который между торговыми операциями занимался своим хобби – математикой. И достиг на этом поприще очень многого…). Обозначим через F(z) производящую функцию последовательности чисел Фибоначчи . Докажите, что F(z)=1+zF(z)+z²F(z) и найдите отсюда F(z).

6. Пользуясь разложением полученной рациональной дроби на простейшие и разложением функции в степенной ряд при , получите выражение для B_n.

Ответ. . В этой формуле удивительно то, что последовательность целых чисел представлена с использованием иррационального числа .