1. Комбинаторика в задачах

В этом разделе все рассматриваемые числа целые неотрицательные (0,1,2,…).

1. Основной принцип комбинаторики

1. . От Москвы до Уфы можно добраться поездом, самолетом или теплоходом, а от Уфы до Чишмов – поездом, автобусом или на такси. Сколькими способами можно в совокупности добраться от Москвы до Чишмов через Уфу?

2. . На почте продаются конверты без марок 5 видов, марки 10 видов по 1 руб. и марки 8 видов по 5 руб. Сколькими способами можно купить конверт и по одной марке за 1 и 5 руб?

3. . Сколькими способами можно выбрать на шахматной доске одну черную и одну белую клетки? А так, чтобы они не лежали на одной вертикали или горизонтали?

4. . (Обобщение) В стране n₁ провинций, в каждой провинции n₂ районов, в каждом районе n₃ уездов, в каждом уезде n₄ поселков, в каждом поселке n₅ домов. Сколько всего домов в стране?

Этот результат в общем виде называется теоремой произведения или основным принципом комбинаторики. Попробуйте привести другие интерпретации теоремы произведения.

2. Размещения с повторениями

1. . Замок в автоматической камере хранения состоит из 4 дисков, на каждом из которых написаны буквы а, б, в, г, д, е. Сколько различных кодов можно получить?

2. . В группе из 25 человек разыгрываются три приза, причем призы выигрывают не обязательно разные студенты. Сколькими способами можно разыграть призы?

3. . В пачке 20 экзаменационных билетов. Экзамен организован следующим (достаточно странным!) образом. Студент входит, берет билет, отвечает на него (в лучшем случае!), после этого билет возвращается в пачку и заходит следующий студент. Сколькими способами могут достаться билеты 10 студентам? А 20? 30?

4. . Пять различных стульев надо обить тканью. Имеется 10 рулонов ткани различных цветов, причем каждого рулона хватает на обивку всех пяти стульев. Сколькими способами можно обить стулья?

5. . (Обобщение) В пачке n карточек с номерами от 1 до n. Из пачки достается любая карточка, ее номер записывается на доске, после этого карточка возвращается в пачку. Затем достается вторая карточка и т.д. Сколько различных последовательностей может быть на доске после m таких действий? (n^m). Такие конструкции называются размещениями с повторениями. Выпишите все размещения с повторениями при n=3, m=2.

3. Размещения без повторений

1. . Сколько словарей следует издать, чтобы можно было переводить тексты непосредственно с любого из шести языков на каждый из них? А если языков десять?

2. . Каков ответ в задаче 1.2.2, если каждый студент не может получить более одного приза?

3. . Каков ответ в задаче 1.2.3, если билеты в пачку не возвращаются?

4. . Каков ответ в задаче 1.2.4, если каждого рулона ткани хватает на обивку только одного стула?

5. . (Обобщение) Сколько различных векторов длины m можно сформировать из n чисел, если компоненты вектора различные?

Такие вектора называются размещениями (без повторений) из n по m . Число размещений из n по m равно . Эта величина обозначается (старое обозначение) или (современное обозначение).

Преобразуя, получим:

.

Через n! обозначается при n>1 произведение , 1!=0!=1. Последнее выглядит несколько странно, но так определять 0! полезно в частности для того, чтобы последнее выражение для числа размещений было справедливо и при n=m . Перечислите все размещения без повторений из 3 по 2.