2. Компьютерные представления графов

Естественно, графы представляются в виде некоторых наборов данных. Подобных представлений существует множество, у каждого есть свои достоинства и недостатки. Общий недостаток состоит в том, что предварительно надо занумеровать вершины (иногда и ребра), это приводит к сложностям, например, при проверке изоморфизма графов. Приведем три наиболее распространенных представления.

1. Матрица смежности S(Г).

Это квадратная матрица размеров pp (как обычно, p – число вершин). Для ее построения надо занумеровать вершины. Матрица S(Г) булева (ее элементы 0 или 1). S(Г)_ij=1 тогда и только тогда, когда в графе существует дуга (a_i,a_j). Таким образом, каждой дуге графа соответствует 1 в матрице смежности и наоборот, на главной диагонали расположены нули. Матрица смежности неориентированного графа симметрическая. Матрицу смежности можно определить и для псевдографа, тогда на главной диагонали могут быть и единицы.

Такое представление неэкономно в случае, если в графе мало дуг (в матрице в основном нули).

2. Матрица инциденций I(Г).

Размеры этой матрицы qp. Для ее построения необходимо занумеровать и вершины, и дуги. В каждой строке матрицы для ориентированного графа присутствуют один элемент –1 , один элемент 1, остальные 0.Для неориентированного графа – две единицы, остальные нули. I(Г)_ij=–1 (1), если i-я дуга исходит из j-й вершины (приходит в j-ю вершину), модификация для неориентированного графа очевидна. Это представление целесообразно использовать при малом числе дуг. Дополнительную сложность доставляет двойная нумерация.

3. Список дуг.

Это матрица размеров q2. Каждая строка соответствует дуге. На первом месте номер начальной вершины дуги, на втором – конечной. Этот способ имеет те же недостатки, что и предыдущий, но экономнее.

Введенные матрицы S(Г) и I(Г) обладают рядом интересных свойств. Сформулируем две теоремы такого типа.

Теорема 15. Элемент Sⁿ(Г)_ij n-й степени матрицы S(Г) равен числу маршрутов длины n, соединяющих i-ю вершину графа с j-й. (Соответствующие понятия см. в следующем разделе).

Теорема 16. Пусть L(Г) – граф, смежный к неориентированному графу Г. Справедливо равенство S(L(Г))=I(Г)I^Т(Г)2E_q. Здесь I^Т(Г) – транспонированная матрица, E_q – единичная матрица qq, в правой части используется обычное умножение матриц.

3. Маршруты и связность

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 22. Маршрутом (путем) в графе называется последовательность вида , где v – вершины, e – дуги, . Этот маршрут соединяет вершины и , его длина равна n.

Маршрут называется замкнутым (циклом), если .

Маршрут называется цепью, если в нем все дуги различные (при этом вершины могут повторяться).

Цепь, не являющаяся циклом, называется простой, если в ней нет повторяющихся вершин.

Цикл называется простым, если в нем все вершины (кроме первой и последней) различные.

Следующее утверждение очень простое.

ПРЕДЛОЖЕНИЕ. Если существует маршрут, соединяющий вершины и , то существует и простая цепь, соединяющая эти вершины.

Доказательство состоит в последовательном исключении циклов из маршрута.

Если такой маршрут существует, то говорят, что вершина достижима из вершины . Две вершины графа называются взаимно достижимыми, если каждая из них достижима из другой. Для неориентированных графов понятия достижимости и взаимной достижимости совпадают. Взаимная достижимость означает, что в графе есть цикл, содержащий эти вершины.

Бинарное отношение взаимной достижимости на множестве вершин графа, как легко проверить, является рефлексивным, симметричным и транзитивным, т.е. отношением эквивалентности. Как следует из Теорема 3, множество вершин графа распадается на классы эквивалентности.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 23. Классы эквивалентности множества вершин графа по отношению взаимной достижимости называются компонентами сильной связности. Для неориентированных графов слово «сильной» опускается.

Таким образом, компоненту сильной связности можно охарактеризовать следующими свойствами.

- Любые две вершины из этого множества взаимно достижимы.

- Множество вершин нельзя расширить с сохранением этого свойства.

Граф, у которого одна компонента сильной связности называется сильно связным (связным в случае неориентированных графов).

Для выделения в графе компонент сильной связности (или проверки сильной связности графа) удобно использовать матрицу достижимости D. Элементами этой матрицы размеров pp являются 0 и 1, причем D_ij=1 тогда и только тогда, когда j-я вершина достижима из i-й. j-я и i-я вершины взаимно достижимы тогда и только тогда, когда D_ij=D_ji=1. Сильная связность графа равносильна тому, что матрица достижимости заполнена единицами.

Опишем алгоритм построения матрицы достижимости по матрице смежности.

Каждая вершина достижима из самой себя, поэтому на главной диагонали матрицы D расположим 1. Далее последовательно просматриваем уже имеющиеся единицы в матрице D и добавляем единицы следующим образом. Если D_ij=1, то в i-ю строку переносим единицы из матрицы смежности, расположенные в j-й строке. Для того, чтобы не просматривать одни и те же единицы по нескольку раз, просмотренные единицы целесообразно отмечать.