9. Вопросы для самопроверки

1. Что такое объединение, пересечение, дополнение, симметрическая разность множеств?

2. Какими алгебраическими свойствами обладают операции над множествами?

3. Что такое булеан множества?

4. Сколько элементов в булеане конечного множества?

5. Что такое прямое произведение множеств?

6. Чем отличаются множество и вектор?

7. Что такое отношение на множестве?

8. Какими свойствами могут обладать бинарные отношения?

9. Какими свойствами характеризуются отношения эквивалентности и порядка?

10. Что такое классы эквивалентности?

11. Как определяются отображение, суперпозиция отображений?

12. Что такое образ и прообраз множества при отображении?

13. Что такое обратное отображение?

14. Какими алгебраическими свойствами обладают операции суперпозиции и обратного отображения?

15. Какое отображение называется взаимно однозначным соответствием?

16. Как связаны понятия «обратимое отображение» и «взаимно однозначное соответствие»?

17. Какие множества называются равномощными?

18. В каком случае конечные множества являются равномощными?

19. Как устанавливается отношение порядка между мощностями множеств?

20. Являются ли любые бесконечные множества равномощными? Так ли это для множеств натуральных и вещественных чисел?

21. Какие множества называются счетными и какими свойствами они обладают?

22. Какому множеству равномощен булеан счетного множества?

23. Существует ли множество максимальной мощности?

10. Упражнения

1. Существуют ли такие множества A,B,C, что

2. Справедливы ли следующие утверждения для любых A,B,C?

А) Если AB и B C, то AС.

B) Если , то С=.

3. Решите системы уравнений (A,B,C – данные множества, X – неизвестное):

.

Указание. Выясните вначале, как связаны между собой множества A,B,C.

3. Для следующих пар множеств U, V найдите необходимые и достаточные условия для множеств A,B,C, при которых U V, V U, U= V.

1. 

2. 

3. 

4. 

5. 

6. 

7. 

8. 

9. 

Указание. На двух изображениях множеств A,B,C в общем положении отметьте на одном множество U, на другом множество V, Затем найдите множество, которое является частью U и не пересекается с V, и опишите его. Аналогично с множеством V.

3. Булеан конечного множества A разбивается на две части: в одну входят подмножества с четным числом элементов, в другую – с нечетным. Докажите, что в каждой части число элементов равно .

4. Изобразите на координатной плоскости множества [1,2] [3,4], {1,2} [3,4], {1,2} {3,4}.

5. Справедливы ли равенства

,

?

3. Бинарному отношению на множестве вещественных чисел соответствует подмножество плоскости (определяющее множество). Какими свойствами обладает определяющее множество для рефлексивных, антирефлексивных, симметричных, антисимметричных, транзитивных отношений?

4. Постройте на множестве {1,2,3} бинарное отношение, которое является

А) рефлексивным, симметричным, не транзитивным;

B) не рефлексивным, симметричным, транзитивным;

С) рефлексивным, не симметричным, транзитивным;

D) не рефлексивным, антисимметричным, транзитивным;

Е) антирефлексивным, антисимметричным, транзитивным.

3. Установите, какими из описанных свойств (ОПРЕДЕЛЕНИЕ 4) обладают бинарные отношения на множестве {1,2,3}:

А) {(1,2),(2,1),(2,3)},

B) {(1,1),(1,2),(2,1),(2,3),(3,2)},

C) {(1,2),(2,3),(1,3)}.

3. Проверьте, что следующие бинарные отношения являются отношениями эквивалентности и опишите классы эквивалентности.

А) На множестве натуральных чисел: остатки от деления чисел на 5 равны.

В) На множестве натуральных чисел: неполные частные от деления чисел на 5 равны.

С) На множестве пар вещественных чисел: ((a,b),(c,d))G, если a+d=b+c.

D) На множестве вещественных чисел, определяющее множество которого состоит из всей плоскости за исключением осей координат, но включает точку (0,0).

3. Сформулируйте и докажите теорему, обратную к Теорема 3.

4. Установите, являются ли следующие бинарные отношения отношениями порядка.

А) На множестве натуральных чисел: остаток от деления на 5 числа a меньше остатка от деления на 5 числа b.

B) На множестве натуральных чисел: неполное частное от деления на 5 числа a меньше неполного частного от деления на 5 числа b.

С) На множестве положительных вещественных чисел c определяющим множеством {(a,b):b<a/2}.

D) На множестве положительных вещественных чисел c определяющим множеством {(a,b): b<2a}.

3. Пусть отображения f,g: R R имеют вид

Найдите отображения .

3. Для отображения g из предыдущего упражнения найдите множества

4. Докажите, что . Здесь f: - отображение, .

5. Пусть f: , A₁ A, B₁ B. Всегда ли справедливы равенства f ^1(f(A₁))= A₁, f (f ^1 (B₁))= B₁?

6. Пусть f: , A₁, A₂ A, B₁, B₂ B. Всегда ли справедливы равенства f(A₁A₂)=f(A₁)f(A₂), f(A₁A₂)=f(A₁)f(A₂), f ^1(B₁ B₂)= f ^1 (B₁) f ^1(B₂), f ^1(B₁ B₂)= f ^1 (B₁) f ^1(B₂)?

7. Пусть отображение таково, что - тождественное отображение. Докажите, что - взаимно однозначное соответствие.

8. Пусть |A|=n, |B|=m. Сколько всего существует отображений Сколько существует отображений , которые

А) обладают свойством при m=2,3;

В) таковы, что из условия f(a₁)= f(a₂) следует, что a₁= a₂;

С) являются взаимно однозначными соответствиями?

3. Постройте взаимно однозначное соответствие между множествами

А) N и N\{1},

В) [0,1) и [0,),

С) [0,1) и (10,20],

D) [0,1) и [0,1],

E) множеством всех последовательностей натуральных чисел и множеством всех возрастающих последовательностей натуральных чисел,

F) множеством всех конечных подмножеств множества N и множеством N,

G) множеством точек единичного квадрата и множеством чисел [0,1].

22. Докажите, что следующие множества являются счетными.

А) Множество точек на плоскости, обе координаты которых - рациональные числа.

В) Бесконечное множество непересекающихся кругов на плоскости.

С) Множество всех конечных подмножеств множества N.

D) Множество всех целых чисел.

Е) Множество всех многочленов с целыми коэффициентами.