7. Счетные множества

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 15. Множество, равномощное множеству N, называется счетным.

Иными словами счетными являются такие множества, элементы которых можно занумеровать натуральными числами (например, так: ).

Подтверждением высказанного странного утверждения о «малости» такой бесконечности являются следующие результаты.

Теорема 9. Во всяком бесконечном множестве содержится счетное подмножество.

Доказательство. Пусть множество A бесконечное. Поскольку оно непустое, выберем в нем какой-нибудь элемент .

Множество A\ бесконечное, поскольку при удалении одного элемента множество не может из бесконечного стать конечным. Выберем в нем какой-нибудь элемент .

Множество A\ также бесконечное. Выберем в нем какой-нибудь элемент .

Этот процесс продолжается неограниченно. В результате получаем множество – счетное подмножество A, что и требовалось.

Теорема 10. Всякое бесконечное подмножество счетного множества является счетным.

Доказательство. Пусть AB, причем множества A – бесконечное, а B – счетное. По предыдущей теореме в A существует счетное подмножество C. Тогда |C|≤|A|≤|B|, причем |C|=|B| (оба множества счетные). В силу антисимметричности отношения порядка мощностей, отсюда |C|=|A|=|B|, т.е. множество A счетное, что и требовалось.

Следующая теорема имеет важные следствия.

Теорема 11. Объединение счетного семейства счетных множеств является счетным.

Доказательство. Пусть каждое из множеств A₁,A₂,…,A_n,… счетное. Можно считать, что эти множества попарно не пересекаются (в противном случае повторяющиеся элементы можно удалить). Расположим эти множества в виде таблицы

A1:	a11	a12	a13	a14	a15	…
A2:	a21	a22	a23	a24	a25	…
A3:	a31	a32	a33	a34	a35	…
A4:	a41	a42	a43	a44	a45	…
A5:	a51	a52	a53	a54	a55	…
…	…	…	…	…	…	…

Выпишем элементы объединения в следующем порядке:

a₁₁, a₂₁, a₁₂, a₃₁, a₂₂, a₁₃, a₄₁, a₃₂, a₂₃, a₁₄,…. Занумеруем все эти элементы последовательно. (Каким будет номер элемента a_ij?). Теорема доказана.

Следствие. Множество рациональных чисел Q счетное.

Доказательство. Рациональные числа это числа, которые представимы в виде , где числа p,q целые, q0. Достаточно проверить утверждение для положительных рациональных чисел (почему?). Q= , где

. Таким образом, множество положительных рациональных чисел является объединением счетного семейства счетных множеств, т.е. счетное.

Разумеется, счетным является и множество рациональных чисел из отрезка [0,1]. В то же время, множество точек отрезка является несчетным (в нем точек «больше», чем в счетном – Теорема 8!). Несмотря на это, рациональные точки всюду плотны на отрезке в следующем смысле: какой бы интервал (a,b) [0,1] мы ни взяли (длина его может быть сколь угодно малой!), в нем содержится рациональное число! Действительно, если натуральное число q столь велико, что , то хотя бы одно число вида принадлежит интервалу (a,b). Так что, несчетное множество приближается счетным.