2. Подмножества.

Множество называется подмножеством множества , если каждый элемент мно­жества является в то же время элементом множества . Тот факт, что является подмножеством , символически записывают так: . Знак называется знаком включения, отношение – отношением включения. Говорят, что множество включено в множество .

Каждое непустое множество имеет по крайней мере два подмножества:

1) пустое множество является подмножеством любого множества  ;

2) каждое множество является подмножеством самого себя .

Пример. Приведем примеры подмножеств:

1. множество всех квадратов есть подмножество множества всех прямоугольников;

2. множество студентов–первокурсников вуза является подмножеством множества всех студентов вуза;

3. множество натуральных чисел, делящихся на 10, является подмножеством множества четных натуральных чисел.

Множество натуральных чисел является подмножеством множества рациональных чисел, которое является подмножеством множества действительных чисел. Следовательно, и , или, короче, . Множество натуральных чисел оказывается подмножеством множества действительных чисел. В общем случае, если и , то . Это свойство называют свойством транзитивности отношения включения.

Если одновременно выполняются включения и , то всякий элемент из принадлежит и обратно. В этом случае множества и совпадают, т.е. состоят из одних и тех же элементов. Такие множества называют равными и пишут .

Нужно различать элементы множества подмножества этого множества. Например, когда мы пишем , это означает, что элемент является членом множества, состоящего из трех элементов: и . Когда же пишем , это значит, что множество, состоящее из элемента , является подмножеством множества, состоящего из трех элементов: и .

Замечание: множество из элементов имеет подмножеств.

3. Операции над множествами

3.1 Объединением ( суммой) двух множеств и называется множество, состоящее из всех элементов, принадлежащих хотя бы одному из данных множеств. Объединение записывается как

.

Пример.

Пусть и . Тогда объединение и есть . При этом элементы 6 и 8 принадлежат обоим множествам.

Аналогично определяется объединение более чем двух множеств. Объединение трех множеств , и есть множество , каждый, из элементов которого принадлежит хотя бы одно­му из множеств , и :

.

3.2 Пересечением (произведением) двух множеств и называется новое множество, состоящее из всех элементов, одновременно принадлежащих ка­ждому из данных множеств и .

Пересечение записывается как .

Пример . Пусть и . Тогда .

Пересечение более чем двух множеств определяется аналогичным об­разом. Пересечение трех множеств , и есть множество элемен­тов, которые принадлежат , и : .

Если множества и не имеют общих элементов, то их пересечение пусто: . Такие множества и называются непересекающимися.

Пример. Пусть – множество целых положительных чисел, а – множество целых отрицательных чисел. Тогда и – непересекающиеся множества, так как не существует целых чисел, которые были бы одновременно и положительными, и отрицательными.

Определение непересекающихся множеств может быть распространено на случай более чем двух множеств.

Говорят, что множеств являются взаимно непересекающимися (или попарно непересекающимися), если никакие два из этих множеств не имеют общих элементов. Иными сло­вами, множества взаимно непересекающиеся, если при для .

3.3 Разбиение множества на подмножества. В основе всевозможных классификаций, применяемых в биологии, лингвистике и других науках, лежит операция разбиения множества на попарно непересекающиеся подмножества. Одно и то же множество можно разбивать на подмножества разными способами: совокупность людей можно разделить на детей и взрослых, на мужчин и женщин.

Разбиение множества есть набор его подмножеств , которые взаимно не пересекаются и в объединении дают . Это записывается так: и при для .

Пример. 1)Множество натуральных чисел разбивается на подмножества четных и нечетных чисел. 2)Множество всех многоугольников разбивается на множества треугольников, четырехугольников, пятиугольников и т.д.

3.4 Разностью двух множеств и называется множество, элементами которого являются те и только те элементы множества _, которые не принадлежат . При этом предполагается, что множество не является частью множества . Разность множеств и обозначается и по определению . Таким образом, при вычитании множества из множества из удаляют пересечение и : .

Пример.

1. Пусть – множество студентов данной группы института, – множество девушек, обучающихся в этом институте. Тогда – множество всех юношей, обучающихся в данной группе этого института.

2. Пусть , . Тогда и .

3.5 В случае, когда – часть множества , называют дополнением к в множестве и обозначают .

Пример. Пусть – множество четных чисел, – множество целых чисел. Тогда – множество нечетных чисел.

3.6 Часто все множества, с которыми имеют дело в том или ином рассуждении, являются подмножествами некоторого определенного фиксированного множества. Это множество называют универсальным и обозначают .

Дополнением множества по отношению к универсальному множеству есть множество , составленное из всех тех элементов , которые не находятся в :

.

Пример. Для учебной группы института определим как множество всех юношей этой группы, а – как множество студентов группы, сдавших экзамены. Универсальным множеством является множество всех студентов этой группы. Тогда – множество девушек этой группы; – студенты, не сдавшие экзамены; – юноши, не сдавшие экзамены; – девушки, сдавшие экзамены.

Для наглядного изображения множеств и их свойств используются диаграммы Эйлера–Венна. В этом случае множество будем изображать кругом на плоскости, и представлять элементы множества как множество точек круга. Универсальное множество будем изображать множеством точек некоторого прямоугольника. Если изобразить кругами множества и , то множества изобразятся следующими заштрихованными областями:

Д ля случая трех множеств на рисунке представлены все восемь возможностей принадлежности некоторого элемента трем данным множествам. Область, отмеченная цифрой 1, изображает множество элементов, принадлежащих всем трем множествам. Элементы, принадлежащие только двум из трех данных множеств, попадают в области 2, 3, 4, а элементы, принадлежащие только одному из трех данных множеств, попадают в области 5, 6 и 7. Множество элементов, не принадлежащих ни одному из трех данных множеств, соответствует внешней области, отмеченной цифрой 8. Все возможности принадлежности элемента трем данным множествам исчерпаны.