Лекция 1. Понятие множества. Подмножества. Операции над множествами. Алгебра множеств.

§1 Множества и операции над ними.

1. Понятие множества.

Представление о «множестве» приводит к одному из наиболее общих и наиболее важных понятий, которые встречаются в любой науке и в каждой области математи­ки. Понятие множества является одним из первоначальных понятий, которое не сводится к более простым понятиям математики и не определяется. Это понятие можно пояснить примерами. Примерами множеств могут служить множество всех людей на Земле, множество видов живых существ, множество всех действительных чисел, множество книг в библиотеке, множество треугольников на плоскости и т.д.

Т.е., можно сказать, что множество – это определенная совокупность различных объектов (предметов или понятий), объединенных в одно целое. Объекты любой природы, составляющие некоторое множество, называются элементами этого множества. Если элементами множества являются числа, то данные множества называют числовыми множествами. Множество считается заданным, если для каждого множества и каждого объекта можно однозначно сказать, является ли данный объект элементом данного множества или нет.

Обычно множества обозначают прописными латинскими буквами, а их элементы – строчными буквами. Если объект является элементом множества , то использу­ется запись ( читается: есть элемент множества , или принадлежит , или содержится в ). Если объект не является элементом множества , то это записывают так: (читается: не есть элемент множества , или не принадлежит , или не содержится в ).

Конечное множество можно задать перечислением его элементов. При задании множества в форме списка непосредственно, путем перебора, в фигурных скобках указываются все элементы, составляющие это множество.

Если множество – конечно, то его мощностью называется число различных элементов множества. Обозначение: .

Пример . Пусть – множество простых чисел меньших, чем 10. Тогда обозначает множество, состоящее из чисел 2, 3, 5, 7 и только из них. Мощность множества : .

Конечные множества, содержащие элементов, называются -элементными. Множество, не содержащее ни одного элемента, называют пус­тым множеством и обозначают такое множество символом .

Два множества называются равными, если они состоят из од­них и тех же элементов. При этом порядок, в котором элементы расположены при описании множества, не имеет значения. Например, .

Если конечное множество содержит много элементов, то задание его в форме списка громоздко или даже практически неосуществимо. Бесконечное множество также нельзя задать списком. В таких случаях применяется другой способ задания множества, состоящий в указании характеристического свойства его элементов. Это свойство, которым обладают все элементы данного множества и не обладают элементы, не принадлежащие этому множеству.

С помощью характеристического свойства можно задавать и конечные и бесконечные множества. Множество элементов, обладающих заданным характеристическим свойством , обозначают , т.е. пишут фигурные скобки, в них – обозначение элемента множества, после него– двоеточие, затем – характеристическое свойство.

Пример . Запись означает, что множество состоит из всех чисел , удовлетворяющих неравенству .

Конечное множество может быть задано как перечислением его элементов, так и указанием характеристического свойства его элементов.

Пример. Пусть множество представляет собой множество четных натуральных чисел, меньших 10. Тогда может быть задано двумя способами: или .