3. Застосування логарифмічного частотного критерію для визначення стійкості і запасів стійкості емсс.

ЗАДАЧА 4

Одноконтурна схема математичної моделі ЕМСС наведена на рис. 3.

Рис. 3

Параметри системи мають наступні значення:

; ; ;

; ; ;

; .

За допомогою логарифмічного частотного критерію стійкості визначити чи є ЕМСС стійкою. Якщо ЕМСС є стійкою визначити запаси стійкості.

Розв'язання задачі

Для використання логарифмічного частотного критерію необхідно побудувати логарифмічні частотні характеристики розімкненої ЕМСС.

Для цього згідно з одноконтурною схемою математичної моделі ЕМСС (рис.1) визначають оператор передачі розімкненої системи

. (10)

По оператору передачі визначають передатну функцію розімкненої системи шляхом формальної заміни символу диференціювання D на змінну Лапласа p:

. (11)

Далі, посилаючись на одне з практичних занять за темою 2.1, слід звернути увагу, що за розглядаємих вихідних даних поліном другого порядку, що стоїть у знаменнику передатної функції розімкненої системи, має дискримінант більше нуля, отже може бути представлений у вигляді

, (12)

де ;

.

З урахуванням цього передатну функцію розімкненої ЕМСС можна представити таким чином

. (13)

Потім обговорюється методика побудови логарифмічних частотних характеристик розімкненої системи по заданій передатній функції, проте побудова характеристик не проводиться, а курсантам видаються бланки, на яких побудовані логарифмічні частотні характеристики розімкненої ЕМСС (рис. 4).

Для використання логарифмічного частотного критерію стійкості при наявності логарифмічних частотних характеристик розімкненої системи необхідно, по-перше, з'ясувати, скільки правих коренів має характеристичний багаточлен розімкненої системи . За визначенням, характеристичний багаточлен розімкненої системи, співпадає зі знаменником передатної функції розімкненої системи

. (14)

Оскільки постійні часу елементарних ланок завжди більше нуля, для системи, що розглядається, правих коренів не має.

По-друге, необхідно з'ясувати, скільки додатних та від’ємних переходів через рівні має ЛФЧХ.

Перехід ЛФЧХ через деякий рівень називають додатнім, якщо характеристика перетинає його знизу угору. Перехід ЛФЧХ через деякий рівень називають від’ємним, якщо характеристика перетинає його згори униз. Для системи, що розглядається, є один від’ємний перехід на частоті 44 с^-1.

Згідно з логарифмічним частотним критерієм стійкості замкнена система буде стійкою, якщо в усіх областях частот, де ЛАЧХ розімкненої системи більше нуля, різниця між кількістю додатних та від’ємних переходів через рівні дорівнює половині числа правих коренів характеристичного рівняння розімкненої системи (в цій задачі дорівнює нулю).

З аналізу логарифмічних частотних характеристик випливає, що в усій області частот, де ЛАЧХ розімкненої системи більше нуля, ЛФЧХ не має жодного (від’ємного чи додатного) переходу через рівень –180⁰. Отже згідно з логарифмічним частотним критерієм стійкості ЕМСС при заданих значеннях параметрів є стійкою.

Запас стійкості за фазою визначається виразом

. (15)

За логарифмічними частотними характеристиками запас стійкості за фазою визначають як перевищення ЛФЧХ на частоті рівня . В цій задачі він дорівнює 55⁰.

Запаси стійкості за амплітудою в дБ дорівнюють відстані від ЛАЧХ розімкненої системи до осі абсцис в точках переходів ЛФЧХ рівня –180⁰. В цій задачі запас стійкості по амплітуді праворуч, що визначає на скільки можна збільшувати коефіцієнт підсилення розімкненої системи, щоб система залишалася стійкою, дорівнює 24 дБ. Запас стійкості по амплітуді ліворуч, що визначає на скільки можна зменшувати коефіцієнт підсилення розімкненої системи, щоб система залишалася стійкою, дорівнює , оскільки ліворуч від частоти зрізу ЛФЧХ ні разу не перетинає рівень –180⁰.

Методичні вказівки: по закінченню рішення задачі бланки, на яких побудовані логарифмічні частотні характеристики розімкненої ЕМСС курсанти повинні здати викладачеві.

Підведення підсумків заняття.

Визначаються результати і недоліки в підготовці курсантів, оцінюється їх робота з виставленням оцінок у журналі обліку навчальних занять, дається завдання на самостійну роботу.

Завдання на самостійну роботу

Задана передатна функція розімкненої системи

. (16)

Побудувати асимптотичну ЛАЧХ та ЛФЧХ розімкненої системи, з’ясувати, чи є САК стійкою. Якщо САК є стійкою визначити запаси стійкості

Методичні вказівки: побудову логарифмічних частотних характеристик проводити на бланку, де побудовані логарифмічні частотні характеристики розімкненої ЕМСС, які курсанти будували на одному з занять за темою 2.1.

Розробив доцент кафедри №3

А.С. Чопенко

Методична розробка обговорена і ухвалена на засіданні ПМК протокол № 24 від 17 лютого 2013 року.

1 Пунктиром відмічені питання, які на лекції не розглядалися