1. Логарифмічний частотний критерій стійкості сак.

При використанні логарифмічного частотного критерію судження про стійкість замкненої САК робиться на основі аналізу логарифмічних частотних характеристик розімкненої САК. Розглянемо суть логарифмічного частотного критерію на прикладі системи, що має наступну передатну функцію розімкненої системи

, (1)

причому

. (2)

Для застосування логарифмічного частотного критерію, в першу чергу, необхідно побудувати логарифмічні частотні характеристики розімкненої системи. Логарифмічні частотні характеристики розглядаємої розімкненої системи наведені на рис. 1.

Рис. 1

По-друге, необхідно з'ясувати, скільки правих коренів має характеристичний багаточлен розімкненої системи , який співпадає зі знаменником передатної функції розімкненої системи. Для розглядаємої системи

, (3)

отже, з огляду на те, що постійні часу інерційних ланок більше нуля, у випадку, що розглядається, правих коренів не має.

По-третє, необхідно з'ясувати, скільки додатних та від’ємних переходів через рівні має ЛФЧХ.

Перехід ЛФЧХ через деякий рівень називають додатнім, якщо характеристика при збільшенні частоти перетинає його знизу угору. Перехід ЛФЧХ через деякий рівень називають від’ємним, якщо характеристика при збільшенні частоти перетинає його згори униз. Для системи, що розглядається, точки 1, 3 – від’ємні переходи, а точка 2 – додатний перехід.

Якщо розімкнена система має кратні нульові корені (декілька інтегруючих ланок), слід ураховувати так звані фіктивні переходи. Їх отримують, з'єднуючи в області низьких частот (лівіше на декаду за меншу частоту сполучення асимптот ЛАЧХ) ЛФЧХ з нульовим рівнем. Так САК з передатною функцією розімкненої системи

(4)

має один фіктивний від’ємний перехід (точка 1 на рис. 2).

Рис. 2

Теорема. Для того, щоб замкнена система була стійкою необхідно і достатньо, щоб в усіх областях частот, де ЛАЧХ розімкненої системи більше нуля, різниця між кількістю додатних та від’ємних переходів через рівні дорівнювала половині числа правих коренів характеристичного рівняння розімкненої системи.

Аналіз логарифмічних частотних характеристик показує, що ЛФЧХ розглядаємої системи в області частот, де ЛАЧХ розімкненої системи більше нуля, має один від’ємний перехід (точка 1 рис.1) і один додатний перехід (точка 2 рис. 1). Тому система, що розглядається, є стійкою. А САК з передатною функцією, що визначається виразом (4), в області частот, де ЛАЧХ розімкненої системи більше нуля, має лише один фіктивний від’ємний перехід, отже не є стійкою.

2. Запаси стійкості сак.

Логарифмічний критерій стійкості дозволяє легко проаналізувати, як впливає коефіцієнт підсилення розімкненої системи на її стійкість. Цей аналіз оснований на тому, що при змінюванні коефіцієнту підсилення ЛФЧХ не змінюється, а ЛАЧХ або підіймається зі збільшенням коефіцієнта підсилення, або опускається з його зменшенням. При цьому граничними є значення коефіцієнта підсилення розімкненої системи, при яких частота зрізу ЛАЧХ розімкненої системи співпадає з однією з частот переходів ЛФЧХ рівнів

Для того, щоб забезпечити високу якість функціонування САК необхідно не тільки забезпечити її стійкість, а й вибрати параметри системи достатньо далеко від границь області стійкості. Останнє забезпечує те, що система буде залишатися стійкою незалежно від нестабільності параметрів системи в процесі її експлуатації. Для кількісної характеристики ступеню віддалення системи від границь області стійкості використовуються запаси стійкості.

Запасом стійкості за фазою називають різницю між значенням ЛФЧХ на частоті зрізу розімкненої системи і рівнем - :

. (5)

За логарифмічними частотними характеристиками запас за фазою визначають як перевищення ЛФЧХ на частоті рівня - .

Запас стійкості за фазою характеризує наскільки максимальне допустиме збільшення запізнювання (зменшення випередження) за фазою на частоті зрізу, при внесенні якого система доходить до межи області стійкості.

Запасом стійкості за амплітудою називають відношення дійсного і граничного значення коефіцієнтів підсилення розімкненої системи. Величина запасу завжди повинна бути більше одиниці. Тому, якщо , запас стійкості визначається виразом

. (6)

В протилежному випадку, якщо , запас стійкості визначається виразом

. (7)

Запас стійкості по амплітуді ( ) показує в скільки разів можна збільшувати (зменшувати) коефіцієнт підсилення розімкненої системи, щоб вона дійшла правої (лівої) границі області стійкості.

За логарифмічними частотними характеристиками знаходять запаси стійкості за амплітудою в децибелах, тобто

; (8)

. (9)

Вони дорівнюють відстані від ЛАЧХ розімкненої системи до осі абсцис у точках переходів ЛФЧХ рівнів

Якщо при чи ЛФЧХ не перетинає рівень , а асимптотично наближається до нього, граничне значення коефіцієнта підсилення розімкненої системи дорівнює , і відповідний запас стійкості за амплітудою, також, дорівнює .

Вважають, що САК функціонує з високою якістю, якщо запаси стійкості за амплітудою не менше 10 дБ, а запас стійкості за фазою лежить в межах .