2. Часові характеристики.

До часових характеристик САК відносять імпульсну і перехідну характеристики.

2.1. Імпульсна характеристика та її використання для складання оператора "вхід-вихід".

Імпульсною характеристикою системи називається її реакція на вхідне діяння у вигляді –функції при нульових початкових умовах.

Імпульсну характеристику позначають k(t).

Відповідно до визначення –функції (2.1) вона дорівнює нулю при , а отже прикладається до системи в момент . Тому в силу принципу причинності імпульсна характеристика дорівнює нулю при від’ємних значеннях аргументу

. (8)

Отримаємо оператор ”вхід-вихід” системи, використовуючи імпульсну характеристику. Для цього представимо довільне вхідне діяння у вигляді суперпозиції –функцій

. (9)

В силу властивості суперпозиції (7) реакція системи на суперпозицію елементарних функцій дорівнює такій же суперпозиції реакцій на ці функції. За визначенням реакцією системи на –функцію є імпульсна характеристика. Отже, реакція системи буде визначатися як суперпозиція її імпульсних характеристик

(10)

чи після заміни змінних :

. (11)

Вирази (10), (11) встановлюють зв'язок між вхідним і вихідним діяннями системи, а отже є її операторами, ”вхід-вихід”. Інтеграл, що фігурує в цих виразах, називається інтегралом згортки. Згідно з цими виразами реакція системи на довільне вхідне діяння може бути знайдена як інтеграл згортки цього діяння та імпульсної характеристики системи.

В ряді випадків широко застосовуються оператори ”вхід-вихід”, які отримують з виразів (10), (11), ураховуючи властивості підінтегральних функцій. Так, оскільки у виразі (11) дорівнює нулю при ( ), значення інтеграла не зміниться, якщо верхню межу інтегрування замінити на , а в силу виразу (8) нижня межа інтегрування може бути замінена на нуль

. (12)

Аналогічно з виразу (10) випливає такий оператор ”вхід-вихід”

. (13)

2.2. Перехідна характеристика та її зв'язок з імпульсною характеристикою.

Перехідною характеристикою системи називається її реакція на вхідне діяння у вигляді одиничної функції при нульових початкових умовах.

Перехідну характеристику позначають h(t).

Відповідно до визначення одиничної функції вона дорівнює нулю при , а отже прикладається до системи в момент . Тому в силу принципу причинності перехідна характеристика, як і імпульсна, дорівнює нулю при від’ємних значеннях аргументу

. (14)

Знайдемо зв'язок між імпульсною і перехідною характеристикою системи. Відповідно до виразу (12) перехідна характеристика системи може бути знайдена як інтеграл згортки одиничної функції (вхідного діяння) та імпульсної характеристики системи

. (15)

У виразі (15) t₀ покладено рівним нулю згідно з виразом (14).

Враховуючи, що дорівнює одиниці при ( ), вираз (15) приймає вигляд

, (16)

звідки після диференціювання отримаємо, що імпульсна характеристика є похідною від перехідної характеристики

. (17)