4. Алгебраічний критерій Гурвіца.
Нехай відомий характеристичний багаточлен замкненої САК
, (17)
де m – порядок системи (максимальний ступень символу диференціювання D в знаменнику оператора замкненої системи).
З коефіцієнтів багаточлена складають визначник Гурвіца. Для цього:
1)
розміщують по головній діагоналі зверху
донизу коефіцієнти
;
2)
заповнюють рядки коефіцієнтами
таким чином, щоб при читанні зліва
направо їх індекси убували;
3) заповнюють місця, що залишилися, нулями.
(18)
Потім складають головні діагональні мінори, які одержують викреслюванням останніх рядків і стовпців
;
…;
;
.
(19)
Теорема.
Для того, щоб лінійна стаціонарна САК
була стійкою необхідно і достатньо, щоб
при
визначник Гурвица і всі його головні
діагональні мінори були додатні.
Зауваження.
1. Якщо
вільний член характеристичного рівняння
,
то рівняння спочатку помножують на –1,
а потім перевіряють виконання умов
теореми.
2.
Нерівності, що випливають з теореми
Гурвіца, визначають область стійкості
САК – область значень параметрів, при
яких САК є стійкою. Границі області
стійкості (граничні значення параметрів
САК) знаходять прирівнюючи до нуля
головний діагональний мінор старшого
порядку
і вільний член характеристичного
рівняння замкненої системи
.
Застосуємо критерій Гурвіца для систем першого, другого і третього порядку.
Характеристичне рівняння замкненої САК першого порядку
.
(20)
Згідно з теоремою Гурвіца САК буде стійкою, якщо
визначник Гурвіца
(21)
і вільний член характеристичного рівняння
. (22)
Таким чином, САК першого порядку є стійкою, якщо коефіцієнти характеристичного рівняння замкненої системи додатні.
Характеристичне рівняння замкненої САК другого порядку
.
(23)
Згідно з теоремою Гурвіца САК буде стійкою, якщо
визначник Гурвіца
,
(24)
його головний діагональний мінор
(25)
і вільний член характеристичного рівняння
. (26)
З нерівностей (24) і (25), випливає, що
.
(27)
Таким чином, САК другого порядку є стійкою, якщо коефіцієнти характеристичного рівняння замкненої системи додатні.
Характеристичне рівняння замкненої САК третього порядку
.
(28)
Згідно з теоремою Гурвіца САК буде стійкою, якщо
визначник Гурвіца
,
(29)
його головні діагональні мінори
;
(30)
(31)
і вільний член характеристичного рівняння
. (32)
З нерівностей (29) і (30), випливає, що
,
(33)
а з нерівностей (30) – (33), випливає, що
. (34)
Таким чином, САК третього порядку є стійкою, якщо коефіцієнти характеристичного рівняння замкненої системи додатні і виконується
.
(35)
Зі збільшенням порядку САК накладаються додаткові умови на значення коефіцієнтів характеристичного рівняння замкненої системи.
Висновки.
Формулювання стислих висновків з матеріалу, який розглядався, викладення рекомендацій з самостійної роботи, відповідь на запитання.
Розробив доцент кафедри № 3 кандидат технічних наук
А.С.Чопенко
Лекція обговорена та схвалена на засіданні предметно-методичної комісії (протокол № 21 від 23 січня 2013 р.).