2. Поняття стійкості руху і стійкості сак.

Згідно з виразом (1) рухи однієї САК в межах області нормального функціонування можуть відрізнятися початковим станом системи і вхідними діяннями. Розглянемо два рухи системи. Один рух з початкового стану під дією вхідних діянь і . Задамо його виразом (1) і будемо називати незбуреним рухом. Нехай другий рух відрізняється від першого збуреннями початкового стану і збуреннями вхідних діянь і . Задамо його оператором

(4)

і будемо називати збуреним рухом.

Незбурений рух системи називають стійким, якщо відхилення збуреного руху від незбуреного може бути як завгодно малим при достатньо малих збуреннях початкового стану і вхідних дій.

Якщо при відхилення збуреного руху від незбуреного рух називають асимптотично стійким.

САК називають стійкою, якщо в межах області нормального функціонування всі її незбурені рухи стійкі.

З визначень стійкості руху і стійкості САК випливає, що стійкість дійсно є необхідною умовою нормального функціонування САК, оскільки при її відсутності невеликі збурення початкового стану та (або) вхідних діянь можуть призвести до значної зміни руху системи і про виконання умови (3) не може бути й мови.

Для слідкуючих систем важливо, щоб збурення вхідних діянь, насамперед заважаючого діяння, з часом не впливали на її функціонування. Це означає, що для слідкуючих систем слід вимагати асимптотичної стійкості.

3. Умови стійкості лінійних стаціонарних сак неперервної дії. Поняття критерію стійкості.

Розглянемо довільну САК. Нехай вона задана рівнянням замкненої системи

. (5)

Оператори замкненої системи і являють собою відношення поліномів відносно D. Це дозволяє записати рівняння замкненої системи у вигляді

, (6)

де і - чисельник і знаменник оператора замкненої системи ;

- чисельник оператора замкненої системи за заважаючим діянням , після приведення операторів і до загального знаменника.

В силу властивості суперпозиції будь який рух лінійної системи можна представити як суму вільного руху системи і вимушеного руху за нульових початкових умов :

. (7)

Збурений рух системи відрізняється від руху, що задається виразом (7), на величину збурення , що викликане збуреннями початкових умов і вхідних діянь, тобто

. (8)

В величині збурення аналогічно виразу (7) можна виділити збурення, що викликані збуреннями початкових умов, (надалі збурення вільного руху САК) і збурення, що викликані збуреннями вхідних діянь, (надалі збурення вимушеного руху САК)

. (9)

Згідно з визначенням стійкості, рух буде стійким, якщо збурення його руху будуть мали при достатньо малих збуреннях початкових умов і вхідних діянь.

Величина збурення руху системи співпадає з модулем . Оскільки модуль суми не перевищує суми модулів, має місце вираз

. (10)

Тобто збурення руху САК обмежено зверху, якщо обмежені збурення вільного і вимушеного рухів системи.

З’ясуємо умови обмеженості збурення вільної складової руху системи . Вільна складова руху системи є рішенням диференційного рівняння (6) за умови, що вхідні діяння дорівнюють нулю. Тобто є рішенням диференційного рівняння

. (11)

Оскільки будь який вільний рух САК є рішенням диференційного рівняння (11) при заданих початкових умовах, збурення вільного руху є рішенням цього ж рівняння

. (12)

Відповідно до теорії лінійних диференційних рівнянь рішення диференційного рівняння (12) має вигляд

, (13)

де m – число різних коренів характеристичного рівняння замкненої системи

; (14)

- функції, що для кореня характеристичного рівняння -ой кратності визначаються виразом

; (15)

, - константи, що залежать від початкових умов;

- момент в який відбулися збурення початкових умов.

Згідно з виразом (13) збурення вільної складової руху обмежені зверху, якщо обмежені функції . Ці функції, як випливає з виразу (15) обмежені лише тоді, коли модулі експонент з часом наближаються до нуля. Останнє виконується, якщо коефіцієнти показників експонент мають від'ємні дійсні частини. Оскільки коефіцієнтами показників експонент є корені характеристичного рівняння замкненої системи (14), то функції , отже і збурення вільного руху обмежені зверху, якщо дійсні частини коренів характеристичного рівняння замкненої САК мають від’ємні значення

. (16)

Можна показати, що при виконанні умови (16) збурення вимушеної складової руху за нульових початкових умов також обмежене зверху. Тоді умову (16) можна розглядати, як умову, що гарантує, обмеженість відхилення збуреного руху від незбуреного, тобто стійкість руху САК.

Отримана умова стійкості руху не залежить від початкових умов і зовнішніх діянь, а визначається лише властивостями САК (коренями характеристичного рівняння замкненої САК). Це означає, що, якщо хоча б один рух лінійної САК стійкий, то стійкими будуть і всі інші рухи, а отже стійкою буде і САК. Тобто, вираз (16) можна розглядати як умову стійкості лінійних стаціонарних САК неперервної дії.

Таким чином, задача аналізу стійкості зводиться до відшукання коренів характеристичного рівняння замкненої САК і перевірки виконання умови (16). Однак, якщо порядок характеристичного рівняння більше трьох, рішення цієї задачі без ЕОМ практично неможливо. Для усунення цієї незручності використовують критерії стійкості.

Критерій стійкості – сукупність умов, виконання яких гарантує відсутність коренів характеристичного рівняння замкненої САК (14) у правій напівплощині та на уявній осі. Причому перевірка цих умов являє собою набагато менш складну задачу в порівнянні з відшуканням коренів характеристичного багаточлена замкненої САК.

Відомо декілька критеріїв стійкості лінійних стаціонарних САК. Існуючі критерії можна поділити на дві групи – алгебраічні та частотні. З алгебраічних критеріїв найбільше використання знайшов критерій Гурвіца, розроблений в 1895 році, а з частотних – логарифмічний частотний критерій, вперше запропонований Найквістом в 1932 році. Всі ці критерії еквівалентні один одному, однак кожен з них має свої особливості, що визначають перевагу використання його в різних випадках.