6.3.5 Понятие нормированной стоимости

Ограничения двойственной задачи можно также привести к виду равенства:

(6.8)

Экономический смысл дополнительных двойственных переменных v_j ( ) следующий: это потери при производстве единицы изделия j-го типа. В самом деле, дополнительная двойственная переменная v_j может быть представлена в виде следующего равенства:

Стоимость всех ресурсов, которые идут на производство единицы продукции типа j

Прибыль от единицы продукции типа j

Таким образом, v_j – это разница между той суммой, что могли бы получить, продавая ресурсы, необходимые для производства единицы изделия типа j, и прибылью, которая будет получена, если из этих ресурсов произвести продукцию.

v_j=0, если оценка затрат ресурсов равна прибыли, т.е. потерь при производстве нет.

v_j>0, если оценка затрат ресурсов больше прибыли от единицы продукции. В этом случае производить этот вид продукции невыгодно.

В отчетах Excel оптимальное значение дополнительной двойственной переменной называется нормированной стоимостью.

Нормированная стоимость показывает, насколько уменьшится целевая функция при принудительном выпуске единицы продукции соответствующего типа.

Пусть, например, продукция вида j не вошла в оптимальный план производства, т.е. =0. Однако существует некоторое плановое задание, предписывающее выпуск этого вида продукции в количестве T_j единиц. Тогда при выпуске этого невыгодного вида продукции на него будут оттянуты ресурсы, и выгодной продукции будет выпущено меньше. Целевая функция (общая прибыль) уменьшится, причем это уменьшение можно количественно измерить:

.

6.3.6 Вторая теорема двойственности (теорема о дополняющей нежесткости)

Оптимальные решения исходной и двойственной задач связаны соотношениями:

Эта теорема означает, что между переменными исходной и двойственной задач существует взаимосвязь, которая заключается в том, что одна переменная из пары должна быть нулевой.

Рассмотрим связь между (остаток ресурса i-го вида) и (теневая цена ресурса i-го вида).

Если , то имеется остаток ресурса i-го вида, т.е. ресурс не дефицитен. Увеличение количества этого ресурса не вызовет увеличение прибыли, а только увеличится его остаток. Поэтому соответствующая теневая цена должна быть равна нулю: .

Если , то i-й ресурс является дефицитным, поскольку при его увеличении прибыль растет. Следовательно, он был использован полностью, т.е. остатка нет: .

Рассмотрим теперь связь между (оптимальный объем производства продукции j-го типа) и (потери при производстве единицы продукции j-го типа).

Если , то этот вид продукции согласно оптимальному плану должен быть произведен в каком-то количестве. Следовательно, он является выгодным. Поэтому соответствующие потери равны нулю: .

Если , то данный вид продукции не является выгодным, поэтому в оптимальный план он не войдет: .