6.2 Задача линейного программирования
Наиболее разработанными являются методы решения задач линейного программирования. Начало линейной оптимизации было положено в 1939 г., когда вышла в свет работа профессора Ленинградского университета Л.В. Канторовича «Математические методы организации и планирования производства».
В общем виде задача линейного программирования заключается следующем: найти значения переменных х1, х2, …, хn, доставляющие оптимальное значение целевой функции:
(6.3)
при выполнении ограничений:
(6.4)
где аij, bi , cj –заданные постоянные величины, m – число уравнений, n – число переменных.
Ограничения
с математической точки зрения являются
необязательными, но в моделях экономических
задач они, как правило, всегда присутствуют.
Это связано с экономическим смыслом
переменных х1,
х2,
…, хn.
Например, если под xi
понимается
количество продукции вида i,
которое необходимо выпускать на
предприятии, то очевидно, что оно не
может быть отрицательным.
Ограничения (6.4) определяют область допустимых решений.
Набор значений переменных х1, х2,…,хn, при котором выполняются все ограничения, называется допустимым решением или планом. Допустимое решение, при котором функция f принимает максимальное или минимальное значение, называется оптимальным.
Для решения задач линейного программирования необходимо составить математическую модель задачи. Составление модели удобно рассмотреть на примере.
Пример 6.1. Цех может выпускать два вида продукции: шкафы и тумбы для телевизора. На каждый шкаф расходуется 3,5 м стандартных ДСП, 1 м листового стекла и 1 человеко-день трудозатрат. На тумбу — 1 м ДСП, 2 м стекла и 1 человеко-день трудозатрат. Материальные и трудовые ресурсы ограничены: в цехе работают 150 рабочих, в день нельзя израсходовать больше 350 м ДСП и более 240 м стекла. Прибыль от продажи 1 шкафа составляет 200 у.е., а тумбы — 100 у.е.
Какое количество шкафов и тумб должен выпускать цех, чтобы сделать прибыль максимальной?
Решение. Введем переменные, т.Е. Обозначим за xj те величины, которые нужно найти в задаче. В данном случае это
х1 - количество шкафов;
х2 - количество тумб,
которые должен выпускать цех. Именно от них зависит прибыль цеха и расход ресурсов.
Прибыль от продажи одного шкафа равна 200 у.е., значит, прибыль от продажи х1 шкафов будет 200∙х1. Аналогично, прибыль, полученная от продажи тумб, составит 100∙х2. Целевая функция выражает прибыль, полученную от продажи всего выпущенного количества шкафов и тумб, и поэтому ее значение стремится к максимуму:
Выпуск продукции ограничен количеством ресурсов, расходуемых за один день: ДСП, листовое стекло и трудозатраты.
ДСП на один шкаф расходуется 3,5 (м), а на одну тумбу — 1 (м). Следовательно на х1 шкафов будет израсходовано 3,5∙х1 (м), а на все выпускаемые тумбы — 1∙х2 (м). Всего расход ДСП составит 3,5∙х1 +х2 (м). Количество израсходованного ресурса не должно превышать его запас на предприятии, который равен 350 (м). Поэтому можно записать следующее ограничение:
Аналогично записываются ограничения для других ресурсов: расход стекла не должен превышать его запас:
,
а использование трудовых ресурсов ограничено числом работающих в цехе рабочих:
Количество выпущенной продукции не может быть величиной отрицательной, поэтому добавим еще ограничения:
Таким образом, математическая модель задачи выглядит следующим образом:
Такая запись означает, что необходимо найти неотрицательные значения переменных х1 и х2, удовлетворяющие линейным неравенствам ограничений, при которых целевая функция этих переменных обращалась бы в максимум.
Для решения ЗЛП используется симплекс-метод. Автоматизировать решение этим методом можно с помощью надстройки Поиск решения пакета MS Excel. В случае двух переменных ЗЛП может быть решена графическим методом, для автоматизации которого используется пакет MathCad.