5.3. Представление кодов [4 и др.].

Всякий блочный код можно представить:

- в виде таблицы;

- графически с помощью, так называемого «кодового дерева» (понятие «кодового дерева» является частным случаем более общего понятия – граф. При решении многих практических задач широко используется математическая теория графов [12]);

- аналитически с помощью полиномов, матриц, множеств и т.п.;

- и других способов.

Представление в виде таблицы основано на том, что в ней каждой букве, цифре алфавита источника сообщений сопоставляется определенная кодовая комбинация.

Для алфавита, содержащегося 8 букв (цифр), при равномерном десятичном, четверичном и двоичном кодах показано в таблице 5.3

Таблица 5.3

Буква	Число	m=10	m=4	m=2
А	0	0	00	000
Б	1	1	01	001
В	2	2	02	010
Г	3	3	03	011
Д	4	4	04	100
Е	5	5	11	101
Ж	6	6	12	110
З	7	7	13	111

Помимо представления таблицей, код очень часто представляют графически с помощью так называемого «кодового дерева».

Рассмотрим построение кодового дерева для наиболее простого и наиболее распространенного двоичного кода.

Для этого, начиная с определенной точки(«корня»), будем проводить отрезки прямой (ветви), наклоненные влево или вправо, если кодовым символом является соответственно «0» или «1». На рис. 5.2 построено три «кодовых дерева» для двоичного кода из табл. 5.3. На вершинах этого дерева написаны буквы алфавита источника, соответствующие данным кодовым комбинациям. Обратим внимание на то, что здесь каждой букве соответствует своя вершина «кодового дерева». С помощью «кодового дерева» (рис. 5.2 а) можно однозначно декодировать любую последовательность символов, если только она принята с самого начала. Это справедливо для любого равномерного кода.

Рассмотри теперь неравномерный двоичный код. Пусть он, например, задан «кодовым деревом» (рис. 5.2. б). В данном случае некоторым буквам сообщения соответствуют не вершины, а узловые точки дерева. Но тогда декодирование будет неоднозначным. Действительно, приняв в начале кодовой последовательности символ «0», мы не знаем, означает ли он букву «Б» или является началом кодовой комбинации, означающей буквы «Д» или «Е».

Однако можно построить неравномерные коды, допускающие однозначное декодирование, для этого достаточно, чтобы в кодовом дереве всем буквам источника соответствовали бы только вершины. Тогда ни одна кодовая комбинация не будет являться началом другой, более длинной комбинации. Такой код называется неприводимым.

Пример неприводимого кода представлен « кодовым деревом» (рис. 5.2 в). Если последовательность символов принятая с начала, то, начав при декодировании движение с «корня дерева», мы сумеем образовать законченную кодовую комбинацию только дойдя до какой-либо вершины. Затем мы возвращаемся к «корню дерева», выполняем декодирование следующей кодовой комбинации и т.д. Заметим, что всякий равномерный код является неприводимым.

Аналитически формирование кодовых комбинаций основано на отображении кодовых слов элементами алгебры полиномов. Комбинации, например корректирующего циклического кода, выражаемые двоичными числами, для удобства преобразований обычно определяют в виде полиномов, коэффициенты которых равны 0 или 1. Примером этому может служить следующая запись:

(5.3)

Для того чтобы в результате операций, используемых для формирования циклических кодов, получились полиномы, описывающие данный код, при всех операциях над полиномами должны выполнятся два условия:

1) действия над коэффициентами полиномов (сложение, вычитание, умножение на символ λ) должны производится по модулю m; 2) умножение полиномов должно производится по модулю Zⁿ-1, т.е. за результат умножения должен приниматься остаток от деления обычного произведения полиномов на двучлен Zⁿ-1. Первое условие необходимо для того, чтобы коэффициенты получаемых полиномов принадлежали алфавиту канала, а второе – чтобы степень этих полиномов соответствовала длине данного кода n.